2011-大纲卷理-20 解-等差数列

本题导读

本题考查构造等差数列求通项。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=1$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=\frac{1-\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}$，记 $S_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$，证明: $S_n<1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：令 $c_n=\frac{1}{1-a_n}$，由递推式知 $\{c_n\}$ 为公差等于 1 的等差数列，首项 $c_1=\frac{1}{1-a_1}=1$。求出 $c_n$ 后反解出 $a_n$。
2. 第二问：将 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}$ 代入 $b_n$ 表达式化简。通过分子有理化，将 $b_n$ 变形并进行根式放缩，转化为可以裂项求和的形式，从而证得 $S_n<1$。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $c_n=\frac{1}{1-a_n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。 由题设条件知：

$$c_{n+1}-c_n=1.$$

因为 $a_1=0$，所以 $c_1=\frac{1}{1-0}=1$。 因此，数列 $\{c_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列。 故

$$c_n=c_1+(n-1)\times 1=n.$$

由 $\frac{1}{1-a_n}=n$，解得：

$$1-a_n=\frac{1}{n}⟹a_n=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}.$$

所以，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{n-1}{n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。

(2) 证明： 由 (1) 得 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}$，代入 $b_n$ 的表达式：

$$b_n=\frac{1-\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}=\frac{1-\sqrt{\frac{n}{n+1}}}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}.$$

分子有理化，分子分母同乘 $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$：

$$b_n=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}.$$

因为对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}$， 所以

$$b_n<\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\cdot 2\sqrt{n}}=\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}.$$

另解（更精细的标准裂项放缩）： 由原式变形：

$$b_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

直接裂项相加：

$$S_n=\sum _{k=1}^n{b}_k=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$$ $$=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$$ $$=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，所以 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0$。 因此

$$S_n=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}<1.$$

即证 $S_n<1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式型递推构造等差数列；通项代数化简与拆项。
• 核心方法：
• 换元法构造辅助数列；
• 拆项法（直接将分式 $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$ 拆开为 $\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，天然具备裂项相消结构）。
• 避坑指南：第 (2) 问切勿盲目进行过于复杂的积分放缩或不等式放大，直接分子除以分母拆分为两项即为严格的伸缩差分，简捷明了。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自倒数型分式线性变换（默比乌斯变换退化形式）与阿贝尔求和法的前置裂项模型。
• 结论推广：对任意序列，若通项可表示为 $b_n=\frac{f(n+1)-f(n)}{f(n)f(n+1)}=\frac{1}{f(n)}-\frac{1}{f(n+1)}$，则前 $n$ 项和直接收敛于 $\frac{1}{f(1)}-{\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{f(n+1)}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 1985-全国卷理-16
• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩