2011-天津卷理-07 单-指数函数

本题导读

本题考查指数与对数的互化及单调性，以及中间值比较法。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知 $a=5^{{\log }_{2}3.4}$，$b=5^{{\log }_{4}3.6}$，$c={\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{3}0.3}$，则 ()

A. $a>b>c$　　B. $b>a>c$　　C. $a>c>b$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $a=5^{{\log }_{2}3.4}$：因为 ${\log }_{2}3.4>{\log }_{2}2=1$，且底数 $5>1$，故 $a>5^1=5$。
2. 分析 $b=5^{{\log }_{4}3.6}$：利用换底公式化简 ${\log }_{4}3.6=\frac{{\log }_{2}3.6}{2}={\log }_2\sqrt{3.6}={\log }_2\sqrt{3.6}$。因为 $\sqrt{3.6}<3.4$，且底数 $2>1$，所以 ${\log }_{4}3.6<{\log }_{2}3.4$，从而 $b<a$。或者直接看指数大小：${\log }_{4}3.6=\frac{1}{2}{\log }_{2}3.6={\log }_2\sqrt{3.6}={\log }_{2}1.897$，而 ${\log }_{2}3.4>{\log }_{2}1.897$，故 $a>b$。
3. 分析 $c={\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{3}0.3}$：因为 $0.3<1$，所以 ${\log }_{3}0.3<{\log }_{3}1=0$。底数 $\frac{1}{5}<1$，负数指数幂大于 1，即 $c>1$。具体地，${\log }_{3}0.3<0$，所以 $c=5^{-{\log }_{3}0.3}=5^{|{\log }_{3}0.3|}$。
4. 精确比较 $a,b,c$ 的范围大小。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 $a$：${\log }_{2}3.4>{\log }_{2}2=1$，因为底数 $5>1$，所以 $a=5^{{\log }_{2}3.4}>5^1=5$；
• 对于 $b$：$b=5^{{\log }_{4}3.6}=5^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3.6}=5^{{\log }_2\sqrt{3.6}}$。因为 $\sqrt{3.6}<3.4$，且 $y={\log }_{2}x$ 单调递增，所以 ${\log }_2\sqrt{3.6}<{\log }_{2}3.4$，从而 $b<a$；又 $\sqrt{3.6}>\sqrt{1}=1$，故 ${\log }_2\sqrt{3.6}>0$，所以 $b>5^0=1$；
• 对于 $c$：$c={\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{3}0.3}=5^{-{\log }_{3}0.3}=5^{{\log }_3\frac{10}{3}}$。因为 $0<0.3<1$，所以 ${\log }_{3}0.3<0$，从而指数 $-{\log }_{3}0.3={\log }_3\frac{10}{3}>0$，故 $c>1$。比较三者指数：${\log }_{2}3.4\approx 1.77$，${\log }_3\frac{10}{3}\approx 1.10$，${\log }_{4}3.6=\frac{1}{2}{\log }_{2}3.6\approx 0.92$。于是 ${\log }_{2}3.4>{\log }_3\frac{10}{3}>{\log }_{4}3.6$，故 $a>c>b$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数函数与对数函数的单调性、换底公式。
• 核心方法：利用中间值（如 0 或 1）定性比较，或利用换底公式化为同底指数比较。
• 避坑指南：注意底数大于 1 与小于 1 时指数函数单调性的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：天津高考理科数学指对数大小比较经典小题。
• 结论推广：形如 $a^{f(x)}$ 形式的大小比较，核心在于先比较指数的大小，再结合底数单调性得出结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-河北卷-01(4)
• 1990-上海卷-14 单-等差等比数列判定
• 1990-全国卷理-01 单-指数方程与对数