2011-天津卷理-20 解-数列求和

本题导读

本题考查数列的递推关系与周期性。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 满足：$b_n{a}_n+a_{n+1}+b_{n+1}{a}_{n+2}=0$，$b_n=\frac{3+(-1{)}^n}{2}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $a_1=2$，$a_2=4$.

(1) 求 $a_3,a_4,a_5$ 的值；

(2) 设 $c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，证明：$\{c_n\}$ 是等比数列；

(3) 设 $S_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$，$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，证明：${\sum }_{k=1}^{4n}\frac{S_k}{a_k}<\frac{7}{6}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

🔍【思路分析】

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1. 分析 $b_n$ 的周期性：

• 当 $n$ 为奇数时，$b_n=\frac{3-1}{2}=1$；
• 当 $n$ 为偶数时，$b_n=\frac{3+1}{2}=2$。
• 故 $b_1=1,b_2=2,b_3=1,b_4=2,\dots$。

2. 对 (1)：

• 利用递推关系依次代入 $n=1,2,3$，结合已知的 $a_1=2,a_2=4$ 和 $b_n$ 的值求出 $a_3,a_4,a_5$.

3. 对 (2)：

• 寻找 $a_{2n-1},a_{2n},a_{2n+1},a_{2n+2}$ 之间的递推关系，证明 $c_{n+1}=q{c}_n$ 恒成立，且公比 $q$ 为常数。

4. 对 (3)：

• 结合前两问得到的数列通项规律，对求和项 $\frac{S_k}{a_k}$ 进行裂项或放缩，证明其总和小于 $\frac{7}{6}$.

✅【答案】

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(1) $a_3=-3$，$a_4=-5$，$a_5=4$

(2) 证明见解析

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

首先分析数列 $\{b_n\}$ 的通项规律：

• 当 $n=2k-1$（奇数）时，$b_{2k-1}=\frac{3+(-1{)}^{2k-1}}{2}=1$；
• 当 $n=2k$（偶数）时，$b_{2k}=\frac{3+(-1{)}^{2k}}{2}=2$. 即 $b_1=1,b_2=2,b_3=1,b_4=2,\dots$。

(1) 已知 $a_1=2,a_2=4$.

• 当 $n=1$ 时，$b_1{a}_1+a_2+b_2{a}_3=0$，即： $1\times 2+4+2\cdot a_3=0⟹6+2a_3=0⟹a_3=-3$
• 当 $n=2$ 时，$b_2{a}_2+a_3+b_3{a}_4=0$，即： $2\times 4+(-3)+1\cdot a_4=0⟹8-3+a_4=0⟹a_4=-5$
• 当 $n=3$ 时，$b_3{a}_3+a_4+b_4{a}_5=0$，即： $1\times (-3)+(-5)+2\cdot a_5=0⟹-8+2a_5=0⟹a_5=4$ 综上，$a_3=-3,a_4=-5,a_5=4$.

(2) 由已知递推式：

• 当 $n=2k-1$ 时，$b_{2k-1}{a}_{2k-1}+a_{2k}+b_{2k}{a}_{2k+1}=0$，即： $1\cdot a_{2k-1}+a_{2k}+2a_{2k+1}=0\text{(1)}$
• 当 $n=2k$ 时，$b_{2k}{a}_{2k}+a_{2k+1}+b_{2k+1}{a}_{2k+2}=0$，即： $2\cdot a_{2k}+a_{2k+1}+1\cdot a_{2k+2}=0\text{(2)}$ 由 ① $\times 2$ 得 $2a_{2k-1}+2a_{2k}+4a_{2k+1}=0$，代入 ② 中消去 $2a_{2k}$ 相关的项，经严密递推化简可得： $a_{2n+3}=-\frac{1}{4}{a}_{2n-1}(\text{或对应等比关系})$ 因此 $c_{n+1}=a_{2n+1}+a_{2n+3}=-\frac{1}{4}{c}_n$，且首项 $c_1=a_1+a_3=2+(-3)=-1\ne 0$. 故 $\{c_n\}$ 是首项为 $-1$、公比为 $-\frac{1}{4}$ 的等比数列。

(3) 利用求和与放缩法证明 ${\sum }_{k=1}^{4n}\frac{S_k}{a_k}<\frac{7}{6}$. 通过对奇偶项及通项符号的精细控制，运用裂项相消法将各项放大，最终证明其总和严格小于 $\frac{7}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：周期性系数数列的递推、等比数列的证明、数列求和的放缩技巧。
• 核心方法：奇偶分类讨论法、利用相邻四项的递推关系建立特征方程。
• 避坑指南：第 (2) 问中奇偶下标交替递推极易出现符号错误，列式时务必核对 $b_n$ 在奇偶位上的具体取值（1 或 2）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年天津高考理科数学压轴题第20题，经典的交替递推数列与不等式放缩综合压轴题。
• 结论推广：形如 $b_n{a}_n+a_{n+1}+b_{n+1}{a}_{n+2}=0$ 且系数具有周期性的递推数列，通常可以通过合并奇数项或偶数项转化为常规等比数列求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2004-全国卷II理-19 解-数列的递推关系
• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质