2011-安徽卷理-08 单-子集个数

本题导读

本题考查集合的子集个数计算，以及容斥原理与正难则反思想。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 设集合 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$，$B=\{4,5,6,7,8\}$，则满足 $S\subseteq A$ 且 $S\cap B\ne \varnothing$ 的集合 $S$ 的个数是 ()

A. 57　　　　　　　B. 56　　　　　　　C. 49　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出 $A\cap B$ 和只属于 $A$ 不属于 $B$ 的元素集合。
2. 计算 $A$ 的所有子集个数。
3. 扣除与 $B$ 交集为空（即元素完全来自不属于 $B$ 的部分）的子集个数。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，$A\cap B=\{4,5,6\}$。 集合 $A$ 中属于 $B$ 的元素有 3 个（即 $4,5,6$），不属于 $B$ 的元素有 3 个（即 $1,2,3$）。

• $A$ 的所有子集个数为 $2^6=64$ 个。
• 满足 $S\subseteq A$ 且 $S\cap B=\varnothing$ 的子集 $S$，其元素只能从 $\{1,2,3\}$ 中选取，共有 $2^3=8$ 个。
• 因此，满足 $S\cap B\ne \varnothing$ 的集合 $S$ 的个数为： $64-8=56$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：子集个数计算公式 $2^n$ 与补集思想应用。
• 核心方法：间接法（所有子集个数 - 不符合要求的子集个数）。
• 避坑指南：注意 $S\subseteq A$，因此只需关注 $A\cap B$ 的元素，无需考虑 $B$ 中不属于 $A$ 的元素（$7,8$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自集合计数基础问题。
• 结论推广：若有限集 $M$ 有 $n$ 个元素，包含子集 $N$（有 $k$ 个元素），则与 $N$ 交集不为空的 $M$ 的子集个数为 $2^n-2^{n-k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-01 单-集合子集计数
• 2009-陕西卷文-16 填-容斥原理计数