2011-安徽卷理-09 单-导数综合

本题导读

本题考查正弦型函数的性质与图像，以及函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (2x+\phi )$，其中 $\phi$ 为实数，若 $f(x)⩽\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 对 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，且 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)>f(\pi )$，则 $f(x)$ 的单调递增区间是 ()

A. $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right](k\in \mathbf{Z})$　　　　　　　　　B. $\left[k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right](k\in \mathbf{Z})$

C. $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right](k\in \mathbf{Z})$　　　　　　　　D. $\left[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi \right](k\in \mathbf{Z})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x)⩽\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 知 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值或最小值，确定 $\phi$ 的可能值。
2. 结合 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)>f(\pi )$ 筛选出唯一的 $\phi$。
3. 根据正弦函数的单调增区间公式求出单调递增区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $f(x)⩽\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 恒成立，说明 $\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|=1$，即 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\pm 1$。 所以 $2\cdot \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}⟹\phi =k\pi +\frac{\pi }{6}$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

不妨取 $\phi$ 在 $[0,2\pi )$ 上的代表值进行检验：

• 若 $\phi =\frac{\pi }{6}$，则 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$； $f(\pi )=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。 此时 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)<f(\pi )$，不合题意。
• 若 $\phi =\frac{7\pi }{6}$，则 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{7\pi }{6}\right)$。 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{7\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$； $f(\pi )=\sin \left(2\pi +\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$。 此时 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)>f(\pi )$，符合题意。

因此取 $\phi =\frac{7\pi }{6}$（或等价的 $\phi =\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}$）。 令 $2k\pi -\frac{\pi }{2}⩽2x+\frac{7\pi }{6}⩽2k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 解得： $k\pi -\frac{5\pi }{6}⩽x⩽k\pi -\frac{\pi }{3}(k\in \mathbf{Z})$ 令 $k^{\prime }=k-1$，上式可改写为： $\left[(k^{\prime }-1)\pi +\frac{\pi }{6},(k^{\prime }-1)\pi +\frac{2\pi }{3}\right]$ 即单调递增区间为 $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right](k\in \mathbf{Z})$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$\sin (\omega x+\phi )$ 最值点的几何意义与单调区间求解。
• 核心方法：利用最值确定相位，借助不等式筛选参数。
• 避坑指南：注意区间表达形式的周期变换，平移 $k$ 的取值保持区间形式一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自三角函数图象与性质的综合考查。
• 结论推广：若 $|f(x_0)|=\max |f(x)|$，则 $x_0$ 必定为函数的极值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13