2011-山东卷理-09 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及导数与函数极值点。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 函数 $y=\frac{x}{2}-2\sin x$ 的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

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1. 检验函数的奇偶性：$f(-x)=-\frac{x}{2}-2\sin (-x)=-f(x)$，为奇函数，图象关于原点对称。
2. 分析在原点附近的导数符号或单调性：对函数求导得 $y^{\prime }=\frac{1}{2}-2\cos x$，在 $x=0$ 处 $y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$。
3. 结合 $x\to 0^{+}$ 时函数的单调递减趋势（先下凹变负）排除错误选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

记 $f(x)=\frac{x}{2}-2\sin x$。

1. 奇偶性检验： 定义域为 $\mathbf{R}$，且： $f(-x)=-\frac{x}{2}-2\sin (-x)=-\frac{x}{2}+2\sin x=-\left(\frac{x}{2}-2\sin x\right)=-f(x)$ 因此 $f(x)$ 为奇函数，其图象关于坐标原点对称（A、B 均满足关于原点对称）。
2. 原点附近单调性与极值检验： 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-2\cos x$ 在 $x=0$ 处： $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$ 因此函数 $f(x)$ 在原点 $x=0$ 附近单调递减。 当 $x$ 从 0 开始稍大于 0 时，函数值应满足 $f(x)<0$（图象在 $x$ 轴下方）。

• 图 A 中，当 $x>0$ 从 0 处出发时，图象先向下弯曲进入第四象限（在 $x$ 轴下方），即先减后增；
• 图 B 中，当 $x>0$ 从 0 处出发时，图象直接向上进入第一象限（先增后减），矛盾。 故图 A 符合题意。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数图象定性判断、奇偶性检验、原点切线斜率（导数符号）。
• 核心方法：
• 第一步看对称性（奇偶性）；
• 第二步看特殊点与极限趋势；
• 第三步看原点处切线斜率符号 $f^{\prime }(0)$。
• 避坑指南：切勿仅凭三角函数 $\sin x$ 的波动盲目猜想，直接求导看原点切线斜率负正最为稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一与选修2-2导数图象辨析的经典试题，由线性函数与周期函数叠加而成。
• 结论推广：对任意 $f(x)=kx-A\sin x$（$A>k>0$），在原点处 $f^{\prime }(0)=k-A<0$，函数图象在原点必定呈单调递减穿过原点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性
• 2000-新课标理-05 单-函数的奇偶性