2011-山东卷理-16 填-导数

本题导读

本题考查零点存在性定理，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)={\log }_{a}x+x-b(a>0\text{，且 }a\ne 1)$.当 $2<a<3<b<4$ 时，函数 $f(x)$ 的零点 $x_0\in (n,n+1)(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 判断函数单调性：因为 $a>2>1$，所以 ${\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增，从而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增，至多有一个零点。
2. 验证整数点处的函数值正负：

• 检验 $x=1,2,3$ 处的函数值 $f(1),f(2),f(3)$；
• 结合已知条件 $2<a<3<b<4$，估计 $f(2)$ 与 $f(3)$ 的符号。

3. 若 $f(2)<0$ 且 $f(3)>0$，则由零点存在性定理确定 $x_0\in (2,3)$，得出 $n=2$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

因为 $2<a<3$，底数 $a>1$， 所以 $y={\log }_{a}x$ 与 $y=x-b$ 均在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 因此 $f(x)={\log }_{a}x+x-b$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增。 考查整数端点处的函数值：

• 当 $x=2$ 时： $f(2)={\log }_{a}2+2-b$ 因为 $a>2>1$，所以 ${\log }_{a}2<{\log }_{a}a=1$。 又因为 $b>3$，所以： $f(2)={\log }_{a}2+2-b<1+2-3=0$ 即 $f(2)<0$。
• 当 $x=3$ 时： $f(3)={\log }_{a}3+3-b$ 因为 $1<a<3$，所以 ${\log }_{a}3>{\log }_{a}a=1$。 又因为 $b<4$，即 $-b>-4$，所以： $f(3)={\log }_{a}3+3-b>1+3-4=0$ 即 $f(3)>0$。 因为函数 $f(x)$ 在 $[2,3]$ 上连续，且 $f(2)<0,f(3)>0$， 根据零点存在性定理，函数 $f(x)$ 在开区间 $(2,3)$ 内存在唯一的零点 $x_0$。 因为 $x_0\in (n,n+1)$ 且 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$， 所以： $n=2$ 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数函数的单调性与放缩、零点存在性定理 $f(a)\cdot f(b)<0$。
• 核心方法：
• 先定增减性（保证零点唯一）；
• 用边界条件 $a,b$ 的取值范围放缩判断相邻整数的函数值正负。
• 避坑指南：
• 估算 ${\log }_{a}2$ 和 ${\log }_{a}3$ 时，紧扣与 1（即 ${\log }_{a}a$）的相对大小；
• 符号代换时注意 $-b$ 的放缩方向（$3<b<4⟹-4<-b<-3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一函数与方程章节中零点存在性定理与函数估值综合考查的经典小题。
• 结论推广：对于 $f(x)={\log }_{a}x+x-b$，若已知 $k<a<k+1<b<k+2$，则零点恒处于区间 $(k,k+1)$ 内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理
• 2003-上海卷理-10
• 2004-广东卷理-21 解-利用导数研究函数的单调性与最值