2011-山东卷理-17 解-余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\frac{\cos A-2\cos C}{\cos B}=\frac{2c-a}{b}$.

(1) 求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值；

(2) 若 $\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求 $△ABC$ 的面积 $S$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：交叉相乘得 $b(\cos A-2\cos C)=(2c-a)\cos B$。

• 方法一（角化）：利用正弦定理将边代换为对应角的正弦，利用两角和的正弦公式化简合并；
• 方法二（射影定理）：展开整理为 $b\cos A+a\cos B=2(b\cos C+c\cos B)$，直接利用三角形射影定理化简为 $c=2a$，进而由正弦定理求得比值。

2. 对 (2)：由 (1) 得 $c=2a$，已知 $b=2$ 及 $\cos B=\frac{1}{4}$，代入余弦定理求出 $a,c$ 的值；再由同角三角函数关系求出 $\sin B$，代入面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由已知等式交叉相乘得： $b(\cos A-2\cos C)=(2c-a)\cos B$ 整理得： $b\cos A+a\cos B=2(b\cos C+c\cos B)$ 由正弦定理，设 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，代入上式得： $\sin B\cos A+\sin A\cos B=2(\sin B\cos C+\sin C\cos B)$ 利用两角和的正弦公式： $\sin (A+B)=2\sin (B+C)$ 因为在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$， 所以： $\sin (A+B)=\sin C,\sin (B+C)=\sin A$ 故： $\sin C=2\sin A$ 因为 $\sin A\ne 0$，两边同除以 $\sin A$，得： $\frac{\sin C}{\sin A}=2$

(2) 由正弦定理及 (1) 的结论得： $\frac{c}{a}=\frac{\sin C}{\sin A}=2⟹c=2a$ 由余弦定理： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 代入 $b=2$，$c=2a$，$\cos B=\frac{1}{4}$ 得： $2^2=a^2+(2a{)}^2-2\cdot a\cdot (2a)\cdot \frac{1}{4}$ $4=a^2+4a^2-a^2$ $4=4a^2⟹a^2=1$ 因为边长 $a>0$，所以： $a=1,c=2a=2$ 因为 $\cos B=\frac{1}{4}$，且 $0<B<\pi$， 所以： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ 因此，$△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 1\times 2\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正余弦定理边角互化、三角形内角和转化 $\sin (A+B)=\sin C$、面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。
• 核心方法：
• 观察到式子包含 $b\cos A+a\cos B$，可直接联想三角形射影定理 $c=a\cos B+b\cos A$，一步直接秒出 $c=2a$；
• 通法利用正弦定理化边为角，结合诱导公式化简。
• 避坑指南：求 $\sin B$ 时注意三角形内角正弦值恒正，开方取正值；注意余弦定理中符号及系数代入准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修五解三角形章节中最经典的由齐次边角混合关系化简求边比的大题题型。
• 结论推广：三角形射影定理指出 $a=b\cos C+c\cos B$，$b=c\cos A+a\cos C$，$c=a\cos B+b\cos A$，凡出现两边与异角余弦乘积和的结构均可快速合并为第三边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-浙江卷文-14 填-余弦定理求角
• 2008-辽宁卷理-17