2011-广东卷理-02 单-指数

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x,y\text{ 为实数，且 }{x}^2+y^2=1\}$，$B=\{(x,y)\mid x,y\text{ 为实数，且 }y=x\}$，则 $A\cap B$ 的元素个数为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 理解集合元素为平面点集，$A$ 表示单位圆，$B$ 表示直线 $y=x$。
2. 联立两曲线方程，或计算圆心到直线的距离与半径对比，判断交点个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

联立方程组： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ y=x\end{array}$ 代入得 $2x^2=1$，解得 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 因此方程组有两组不同的实数解：$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 与 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。 即 $A\cap B$ 的元素个数为 $2$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的交集意义及二元二次方程组解的几何意义。
• 核心方法：数形结合判定直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离 $d=0<r=1$，相交）。
• 避坑指南：认清集合元素的属性，此题元素为数对/点，不可误当作一元数集。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于解析几何中二次曲线与一次方程的交点判定问题。
• 结论推广：集合 $A=\{(x,y)\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2\}$ 与 $B=\{(x,y)\mid Ax+By+C=0\}$ 的交集元素个数由圆心距 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 与 $r$ 的大小关系唯一确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质