2011-新课标卷理-02 单-函数图像

本题导读

本题考查函数的奇偶性判定，以及函数的单调性判定。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 下列函数中，既是偶函数又在 $(0,+\infty )$ 单调递增的函数是 ()

A. $y=x^3$　　B. $y=|x|+1$　　C. $y=-x^2+1$　　D. $y=2^{-|x|}$

🔍【思路分析】

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1. 检验函数的奇偶性：满足 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数。
2. 检验函数在 $(0,+\infty )$ 上的单调性：要求在正半轴单调递增。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 对 A：$y=x^3$ 满足 $f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$，为奇函数，不合题意；
• 对 B：$f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)$，为偶函数；当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$y=x+1$，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，符合题意；
• 对 C：$y=-x^2+1$ 为偶函数，但开口向下，在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，不合题意；
• 对 D：$y=2^{-|x|}$ 为偶函数；当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，不合题意。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：常见基本初等函数的对称性与单调性。
• 核心方法：先用奇偶性排他，再看区间单调性。
• 避坑指南：D 选项中指数含负号，为底数大于 1 的递减复合函数，易误判为递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修一函数的单调性与奇偶性综合基本习题。
• 结论推广：若 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则偶函数 $f(x)=g(|x|)$ 必在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减，在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式