2011-新课标卷理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3⩽2x+y⩽9\\ 6⩽x-y⩽9\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $u=2x+y\in [3,9]$，$v=x-y\in [6,9]$。
2. 用 $u,v$ 线性表示目标函数 $z=x+2y$：设 $x+2y=m(2x+y)+n(x-y)$，列方程组求出系数 $m,n$。
3. 结合 $m,n$ 的符号与 $u,v$ 的取值范围，直接求出最小值；或求出可行域的四个顶点坐标分别代入计算。

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（基底代换法）： 设 $z=x+2y=m(2x+y)+n(x-y)=(2m+n)x+(m-n)y$。 对比系数可得： $\{\begin{array}{l}2m+n=1\\ m-n=2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}m=1\\ n=-1\end{array}$ 所以： $z=x+2y=(2x+y)-(x-y)$ 已知： $3⩽2x+y⩽9$ $6⩽x-y⩽9⟹-9⩽-(x-y)⩽-6$ 两式同向相加，得： $3+(-9)⩽(2x+y)-(x-y)⩽9+(-6)$ $-6⩽z⩽3$ 当 $2x+y=3$ 且 $x-y=9$ 时（解得交点 $x=4,y=-5$），目标函数取得最小值： $z_{\min }=3-9=-6$ 故答案为：$-6$。

方法二（角点法）： 可行域为平行四边形，其四个顶点为各边界直线的交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=6\end{array}⟹(3,-3)$，代入 $z=3+2(-3)=-3$；
• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=9\end{array}⟹(4,-5)$，代入 $z=4+2(-5)=-6$；
• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y=9\\ x-y=6\end{array}⟹(5,-1)$，代入 $z=5+2(-1)=3$；
• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y=9\\ x-y=9\end{array}⟹(6,-3)$，代入 $z=6+2(-3)=0$。 比较四个顶点的目标函数值，最小值为 $-6$。 故答案为：$-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划的可行域顶点法与代数代换法。
• 核心方法：
• 快速拆解：将目标式直接用两个约束条件表示，若拆出的系数同号或分别对应独立单调项，可直接不等式求界；
• 通法：联立解出 4 个顶点坐标，代入后取极值，准确且不易出错。
• 避坑指南：不等式作差求下界时，需确保两个极值边界能在同一点处同时取到（此处 $2x+y=3$ 与 $x-y=9$ 交于 $(4,-5)$，同时取到）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的二维平面单纯形区域（平行四边形网格）线性规划基础题。
• 结论推广：若约束条件形如 $a⩽u⩽b,c⩽v⩽d$，目标函数为 $z=mu+nv$，当且仅当可行域存在时，其最值必在矩形 $(u,v)\in [a,b]\times [c,d]$ 的四个角点取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II理-14 填-简单线性规划
• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2006-湖南卷理-12 填-两点间距离的几何意义