2011-新课标卷理-17 解-对数

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与性质。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)）等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1$ ， $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ .

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_{n} = lo g_{3} a_{1} + lo g_{3} a_{2} + \dots + lo g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b _{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ （ $q > 0$ ）。利用 $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ 建立关于 $q$ 的方程，求出公比 $q$ ；再代入 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1$ 确定首项 $a_{1}$ ，写出通项公式 $a_{n}$ 。

利用对数加法性质化简 $b_{n} = lo g_{3} (a_{1} a_{2} \dots a_{n})$ ，将其转化为等差数列求和，得到关于 $n$ 的二次代数式 $b_{n}$ 。

对 $\frac{1}{b _{n}}$ 采用裂项相消法求解前 $n$ 项和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ 。因为数列各项均为正数，所以 $a_{1} > 0$ 且 $q > 0$ 。由 $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ ，得： $(a_{1} q^{2})^{2} = 9 (a_{1} q) (a_{1} q^{5})$ $a_{1}^{2} q^{4} = 9 a_{1}^{2} q^{6}$ 因为 $a_{1} > 0, q > 0$ ，两边同除以 $a_{1}^{2} q^{4}$ ，得： $1 = 9 q^{2} ⟹ q^{2} = \frac{1}{9}$ 解得： $q = \frac{1}{3}$ 代入 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1$ ，即 $2 a_{1} + 3 a_{1} q = 1$ ： $2 a_{1} + 3 a_{1} (\frac{1}{3}) = 1 ⟹ 3 a_{1} = 1 ⟹ a_{1} = \frac{1}{3}$ 所以数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = a_{1} q^{n - 1} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3})^{n - 1} = (\frac{1}{3})^{n} = 3^{- n}$

(2) 由 (1) 知 $a_{n} = 3^{- n}$ ，则： $lo g_{3} a_{n} = lo g_{3} 3^{- n} = - n$ 所以： $b_{n} = lo g_{3} a_{1} + lo g_{3} a_{2} + \dots + lo g_{3} a_{n}$ $= (- 1) + (- 2) + \dots + (- n) = - \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 因此： $\frac{1}{b _{n}} = - \frac{2}{n ( n + 1 )} = - 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ 设数列 ${\frac{1}{b _{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则： $S_{n} = - 2 [(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})]$ $= - 2 (1 - \frac{1}{n + 1}) = - 2 \cdot \frac{n}{n + 1} = - \frac{2 n}{n + 1}$ 故数列 ${\frac{1}{b _{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $- \frac{2 n}{n + 1}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量计算、对数求和化简、分式裂项相消法。

核心方法：

等比性质： $a_{2} a_{6} = a_{4}^{2}$ ，故 $a_{3}^{2} = 9 a_{4}^{2} ⟹ \frac{a _{4}}{a _{3}} = \frac{1}{3} = q$ ；

裂项相消基本型： $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ 。

避坑指南：

公比 $q$ 必须满足 $q > 0$ ，舍去负根；

裂项求和时，注意提取系数 $- 2$ 的符号，相消后首尾项相减勿弄错正负。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：经典的数列大题基础第一题，结合了对数降幂运算与经典的裂项相消求和模型。

结论推广：若 $a_{n} = a q^{n - 1}$ ，则 $lo g_{q} a_{n}$ 恒为等差数列，其前 $n$ 项和必为二次多项式 $A n (n + B)$ ，其倒数必可进行裂项相消求和。

🔗【关联脉络】

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19.02 等比数列全总结

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类题演练 (Links)

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2013-江西卷文-16 解-数列因式分解裂项

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