2011-江苏卷-14 填-圆环与带状区域相交

本题导读

本题考查集合的几何意义，以及圆环与带状区域的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 设集合 $A=\left\{(x,y)|\frac{m}{2}⩽(x-2{)}^2+y^2⩽m^2,x,y\in \mathbf{R}\right\}$，$B=\left\{(x,y)|2m⩽x+y⩽2m+1,x,y\in \mathbf{R}\right\}$.若 $A\cap B\ne \varnothing$，则实数 $m$ 的取值范围是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：把 $A$ 看作圆（环）域、$B$ 看作平行线带域
2. 步骤2：用圆心到平行线族的距离与内外半径比较

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{2},2+\sqrt{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

先看 $A$ 非空的条件：需要 $\frac{m}{2}⩽m^2$ 且右侧半径有意义。

若 $m<0$，则 $A$ 是以 $(2,0)$ 为圆心、半径 $|m|$ 的闭圆盘，$B$ 是夹在两平行线 $x+y=2m$ 与 $x+y=2m+1$ 之间的带域。此时两直线都在点 $(2,0)$ 的下方，带域到圆心的最近距离为 $\frac{1-2m}{\sqrt{2}}$，相交要求 $\frac{1-2m}{\sqrt{2}}⩽-m$，解得 $m⩾\frac{2+\sqrt{2}}{2}>0$，与 $m<0$ 矛盾，故 $m<0$ 无解。

若 $m>0$，由 $\frac{m}{2}⩽m^2$ 得 $m⩾\frac{1}{2}$。此时 $A$ 是以 $(2,0)$ 为圆心、内半径 $r=\sqrt{\frac{m}{2}}$、外半径 $R=m$ 的圆环（含边界）。

圆心 $C(2,0)$ 到直线 $x+y=k$ 的距离为 $d(k)=\frac{|k-2|}{\sqrt{2}}$，而 $B$ 对应 $k\in [2m,2m+1]$。

① 当 $\frac{1}{2}⩽m⩽1$ 时，$2\in [2m,2m+1]$，圆心落在带域内，带域伸向无穷远且外半径 $m>0$，带域与圆环必有公共点（$m=\frac{1}{2}$ 时圆环退化为圆周，直线 $x+y=2$ 过圆心，仍相交）。

② 当 $m>1$ 时，$k⩾2m>2$，带域到圆心的最近距离在 $k=2m$ 处取得：$d_{\min }=\frac{2m-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(m-1)$。相交要求 $d_{\min }⩽m$，即 $\sqrt{2}(m-1)⩽m$，解得 $m⩽\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=2+\sqrt{2}$。

此时带域另一侧 $k=2m+1$ 到圆心的距离 $d_{\max }=\frac{2m-1}{\sqrt{2}}$，当 $m⩾1$ 时 $d_{\max }^2-\frac{m}{2}=\frac{(4m-1)(m-1)}{2}⩾0$，带域不可能整体落入内孔，交点确在圆环上。

综上，$m$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},2+\sqrt{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点集的几何表征；圆环域与带状域相交的充要条件；点到直线的距离公式

核心方法：数形结合：把代数不等式组翻译成”圆心到平行线族的距离”与”内外半径”的大小比较，分类求临界

避坑指南：必须先由 $A$ 非空挖出隐含条件 $m⩾\frac{1}{2}$，漏掉会多出一段错误范围；$m<0$ 的情形要严格排除；临界值 $\sqrt{2}(m-1)=m$ 解出 $m=2+\sqrt{2}$ 时注意分母有理化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合与解析几何交汇的压轴填空题，与 2012 年江苏卷第 14 题、2013 年江苏卷第 13 题同族。

结论推广：圆环域 $r⩽\Vert X-X_0\Vert ⩽R$ 与凸区域 $\Omega$ 相交的充要条件是 $\mathrm{dist}(X_0,\Omega )⩽R$ 且 $\Omega$ 不整体落入内孔 $\Vert X-X_0\Vert <r$。

方法推广：区域相交题按”定图形 → 算圆心到边界的距离区间 → 与内外半径比较 → 分段讨论 → 回代临界值”执行。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-13 填-坐标系中的距离公式
• 2012-江苏卷-12 填-直线与圆的公共点