2011-江西卷理-02 单-奇函数

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)）

若集合 $A=\{x\mid -1⩽2x+1⩽3\}$，$B=\left\{x\mid \frac{x-2}{x}⩽0\right\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{x\mid -1⩽x<0\}$　　B. $\{x\mid 0<x⩽1\}$　　C. $\{x\mid 0⩽x⩽2\}$　　D. $\{x\mid 0⩽x⩽1\}$

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $-1⩽2x+1⩽3$ 化简集合 $A$。

2. 解不等式 $\frac{x-2}{x}⩽0$ 化简集合 $B$（注意分母不为0）。

3. 求两个集合对应区间的交集。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解集合 $A$：$-1⩽2x+1⩽3⟹-2⩽2x⩽2⟹-1⩽x⩽1$，即 $A=[-1,1]$。

解集合 $B$：$\frac{x-2}{x}⩽0⟺x(x-2)⩽0$ 且 $x\ne 0$，解得 $0<x⩽2$，即 $B=(0,2]$。

取交集得：$A\cap B=(0,1]=\{x\mid 0<x⩽1\}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式不等式化简与集合运算。

• 核心方法：等价转化为二次不等式时注意分母非零条件。

• 避坑指南：分母 $x\ne 0$ 极易忽视，导致误选端点闭合的选项 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础不等式与数轴集合交集运算的标准模型题。

• 结论推广：对于 $\frac{x-a}{x-b}⩽0$（$a>b$），解集恒为 $(b,a]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法

• 2005-天津卷理-01 单-绝对值不等式的解法

• 2006-江西卷理-01 单-集合的交集运算