2011-江西卷理-11 填-三角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的夹角公式。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)）

已知 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=2$，$(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=-2$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将已知数量积多项式展开，代入模长 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$。

2. 求解出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 的值。

3. 利用夹角余弦公式 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 求出夹角 $\theta$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

展开数量积：

$(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})={\mathbf{a}}^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2{\mathbf{b}}^2=-2$

将 $|\mathbf{a}|=2$，$|\mathbf{b}|=2$ 代入得：

$2^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2\times 2^2=-2$

$4+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-8=-2⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2$

设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$（$\theta \in [0,\pi ]$），则：

$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{2}{2\times 2}=\frac{1}{2}$

由 $\theta \in [0,\pi ]$，解得 $\theta =\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

故答案为：$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量数量积的分配律与夹角计算。

• 核心方法：公式法，直接展开代入求值。

• 避坑指南：注意数量积乘法公式中交叉项的符号合并，避免算错正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：教材关于平面向量数量积定义的经典计算习题。

• 结论推广：对任意两非零向量，若已知其模及线性组合的数量积，必可通过待定系数法求其夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积

• 2005-江西卷理-06 单-平面向量的坐标运算

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算