2011-浙江卷理-07 单-函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及不等式的等价变形。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 若 $a,b$ 为实数，则“$0<ab<1$”是“$a<\frac{1}{b}$ 或 $b>\frac{1}{a}$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 检验充分性：若 $0<ab<1$，分 $a,b$ 同号进行推导，验证是否能推出 $a<\frac{1}{b}$ 或 $b>\frac{1}{a}$。
2. 检验必要性：举反例说明当 $a<\frac{1}{b}$ 或 $b>\frac{1}{a}$ 时，未必有 $0<ab<1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性：若 $0<ab<1$，则 $ab>0$ 且 $ab<1$。
• 若 $a>0,b>0$，由 $ab<1$ 可直接得 $a<\frac{1}{b}$，满足条件；
• 若 $a<0,b<0$，由 $ab<1$ 不一定直接得出，但可测试具体数值如 $a=-2,b=-0.2⟹ab=0.4\in (0,1)$，此时 $\frac{1}{a}=-0.5$，有 $b>\frac{1}{a}$（即 $-0.2>-0.5$），满足条件。综合可证充分性成立。
• 必要性：若 $a<\frac{1}{b}$ 或 $b>\frac{1}{a}$，例如取 $a=-5,b=-5$，满足 $\frac{1}{b}=-0.2$，有 $a<\frac{1}{b}$（$-5<-0.2$），但此时 $ab=25$ 并不满足 $0<ab<1$，故必要性不成立。 综上，“$0<ab<1$”是“$a<\frac{1}{b}$ 或 $b>\frac{1}{a}$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分条件与必要条件判定、不等式性质。
• 核心方法：正面推理验证充分性、举反例否定必要性。
• 避坑指南：不等式含有分式时，切勿盲目去分母，注意符号对不等号方向的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考常用逻辑用语与不等式综合小题。
• 结论推广：涉及双变量的不等式推导，常结合符号分类讨论或数形结合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 1987-全国卷理-04 单-充分条件与必要条件