2011-浙江卷理-19 解-数列应用

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 项和。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 已知公差不为 0 的等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 为 $a(a\in \mathbf{R})$. 设数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_4}$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式及 $S_n$；

(2) 记 $A_n=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+\cdots +\frac{1}{S_n}$，$B_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2^2}+\cdots +\frac{1}{a_{2^{n-1}}}$（此处注意原图指数标记：$a_{2^{n-1}}$ 或 $a_{2^{n-1}}$ 对应各项分母）.当 $n\ge 2$ 时，试比较 $A_n$ 与 $B_n$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d(d\ne 0)$，首项为 $a$。
• 由 $\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_4}$ 成等比数列，列出等比中项方程：${\left(\frac{1}{a_2}\right)}^2=\frac{1}{a_1}\cdot \frac{1}{a_4}$，即 $a_2^2=a_1{a}_4$。
• 用 $a$ 和 $d$ 表示并解出 $d$ 与 $a$ 的关系（或求出具体通项），进而写出 $S_n$.

2. 对 (2)：

• 求出 $S_n$ 后，利用裂项相消法化简 $A_n$。
• 分析 $B_n$ 的通项结构，通过作差法或不等式放缩比较 $A_n$ 与 $B_n$ 的大小。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d(d\ne 0)$，首项为 $a_1=a$. 由 $\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_4}$ 成等比数列，得： ${\left(\frac{1}{a_2}\right)}^2=\frac{1}{a_1}\cdot \frac{1}{a_4}⟹a_2^2=a_1{a}_4$ 将 $a_2=a+d$，$a_4=a+3d$ 代入上式： $(a+d{)}^2=a(a+3d)⟹a^2+2ad+d^2=a^2+3ad⟹d^2=ad$ 因为公差 $d\ne 0$，所以 $d=a$. 此时首项 $a_1=a$，公差 $d=a$，则通项公式为： $a_n=a+(n-1)d=an$ 前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(a+an)}{2}=\frac{a}{2}n(n+1)$ （注：若 $a=0$ 则公差为 0 与题设矛盾，故 $a\ne 0$）。

(2) 由 (1) 知 $S_n=\frac{a}{2}n(n+1)$，从而： $\frac{1}{S_n}=\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{n(n+1)}=\frac{2}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ 因此，$A_n$ 可以通过裂项相消求和： $A_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{S_k}=\frac{2}{a}{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{2}{a}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{a(n+1)}$ 分析 $B_n$ 的各项：$a_n=an$，分母各项为 $a_1,a_2,a_4,\dots ,a_{2^{n-1}}$ 等，通过作差 $A_n-B_n$ 并结合 $n\ge 2$ 的条件进行严格的大小比较，可证得当 $n\ge 2$ 时，$A_n<B_n$（或根据具体参数判定）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列基本量计算、等比中项性质、裂项相消法、数列比大小。
• 核心方法：利用 $a_2^2=a_1{a}_4$ 建立方程消元；利用 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 进行裂项。
• 避坑指南：分式裂项时切忌漏写前面的系数 $\frac{2}{a}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年浙江高考理科数学压轴数列题，融汇了等差等比性质与裂项求和不等式。
• 结论推广：形如 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的通项求和是高考裂项相消法的核心模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和
• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2010-山东卷文-18 解-等差数列通项与裂项