2011-湖北卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x$，$x\in \mathbf{R}$. 若 $f(x)⩾1$，则 $x$ 的取值范围为 ()

A. $\left\{x|k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$　　B. $\left\{x|2k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽2k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

C. $\left\{x|k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$　D. $\left\{x|2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用辅助角公式将 $f(x)$ 变形为 $2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 由 $f(x)⩾1$ 得 $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)⩾\frac{1}{2}$。
3. 结合正弦函数图像及最小正周期 $2\pi$ 求解不等式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$， 所以 $f(x)⩾1⟺\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)⩾\frac{1}{2}$. 由正弦函数的性质可知： $2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x-\frac{\pi }{6}⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}$， 两边同加 $\frac{\pi }{6}$ 得： $2k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽2k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，正弦型不等式的周期通解.
• 核心方法：化同名函数法、数形结合法.
• 避坑指南：正弦函数基本周期为 $2\pi$，解集周期项必须是 $2k\pi$ 而非 $k\pi$；移项计算区间端点时注意变号.

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于交流电与简谐波叠加的代数分析模型，是高考对三角恒等变换与函数图象性质的常规考查。

• 结论推广： 对于不等式 $A\sin \omega x+B\cos \omega x⩾C$ ($A^2+B^2⩾C^2$)，化为 $\sin (\omega x+\phi )⩾\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin {\theta }_0$，解集为各周期内对应角区间的并集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-01
• 1996-全国卷理-06
• 2000-广东卷理-17 解-两角和与差的正弦公式