2011-湖北卷理-04 单-抛物线焦半径

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦半径，以及极坐标方程与圆锥曲线。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

将两个顶点在抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 $n$，则 ()

A. $n=0$　　　　　B. $n=1$　　　　　C. $n=2$　　　　　D. $n⩾3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 为极点建立极坐标系，利用抛物线焦半径极坐标方程 $\rho (\theta )=\frac{p}{1-\cos \theta }$。
2. 焦点为正三角形顶点，则另两点到焦点的距离相等且两射线夹角为 $60^{\circ }$，即 $\rho (\theta +60^{\circ })=\rho (\theta )$。
3. 求解关于 $\theta$ 的三角方程，确定在 $[0,2\pi )$ 范围内的几何构型解的个数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

以抛物线的焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 抛物线的极坐标方程为： $\rho (\theta )=\frac{p}{1-\cos \theta }(\theta \ne 2k\pi )$. 设抛物线上两点为 $A({\rho }_1,{\theta }_1)$，$B({\rho }_2,{\theta }_2)$，使得 $△FAB$ 为正三角形， 则必有 $|FA|=|FB|$ 且 $\angle AFB=60^{\circ }$， 即 ${\rho }_1={\rho }_2$ 且 ${\theta }_2={\theta }_1+60^{\circ }$（不妨设 ${\theta }_2>{\theta }_1$）. 代入极坐标方程得： $\frac{p}{1-\cos ({\theta }_1+60^{\circ })}=\frac{p}{1-\cos {\theta }_1}⟺\cos ({\theta }_1+60^{\circ })=\cos {\theta }_1$. 由余弦函数性质可知： ${\theta }_1+60^{\circ }=2k\pi -{\theta }_1⟹2{\theta }_1=2k\pi -60^{\circ }⟹{\theta }_1=k\pi -30^{\circ }$ ($k\in \mathbf{Z}$). 在 $[0,2\pi )$ 内，存在两个本质不同的取值：

• 当 $k=0$ 时，${\theta }_1=-30^{\circ }=330^{\circ }$，${\theta }_2=30^{\circ }$，此时 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称且开口向右，构成 1 个正三角形；
• 当 $k=1$ 时，${\theta }_1=150^{\circ }$，${\theta }_2=210^{\circ }$，此时两射线同样关于 $x$ 轴对称（指向开口相反方向），其对应的点均位于抛物线上，构成第 2 个正三角形. 无其它满足条件的解，故满足条件的正三角形共有 2 个，即 $n=2$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的极坐标焦半径公式 $\rho =\frac{p}{1-\cos \theta }$；以焦点为顶点的对称几何图形存在性。
• 核心方法：焦半径极坐标转化法、三角方程通解讨论法。
• 避坑指南：直角坐标系下容易只找到开口方向的一组对称三角形（误选 B）；或盲目猜测任意方向均可旋转而错选 (D).

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于圆锥曲线统一极坐标方程 $\rho (\theta )=\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ 的焦半径性质与平面几何等角旋转问题。

• 结论推广： 以圆锥曲线焦点 $F$ 为顶点的正三角形 $FAB$（$A,B$ 在曲线上），满足 $\rho (\theta +\frac{\pi }{3})=\rho (\theta )$，等价于 $\cos (\theta +\frac{\pi }{3})=\cos \theta$，在 $[0,2\pi )$ 上必有且仅有两组对称方向的解，故此类正三角形个数恒为 2。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式