2011-湖北卷理-08 单-向量垂直

本题导读

本题考查向量垂直的坐标表示，以及线性规划与可行域。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(x+z,3)$，$\mathbf{b}=(2,y-z)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$.若 $x,y$ 满足不等式 $|x|+|y|⩽1$，则 $z$ 的取值范围为 ()

A. $[-2,2]$　　　B. $[-2,3]$　　　C. $[-3,2]$　　　D. $[-3,3]$

🔍【思路分析】

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1. 利用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 建立 $x,y,z$ 的等量关系，将 $z$ 显化表示为关于 $x,y$ 的表达式。
2. 作出不等式 $|x|+|y|⩽1$ 所表示的正方形区域。
3. 结合区域的顶点坐标，求出目标函数 $z$ 的最大值与最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。 即 $2(x+z)+3(y-z)=0⟹2x+3y-z=0⟹z=2x+3y$。 不等式 $|x|+|y|⩽1$ 表示以 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ 为顶点的正方形区域（含边界）。 目标函数 $z=2x+3y$ 的最值必在区域的边界顶点处取得：

• 代入 $(1,0)$ 得 $z=2$；
• 代入 $(0,1)$ 得 $z=3$；
• 代入 $(-1,0)$ 得 $z=-2$；
• 代入 $(0,-1)$ 得 $z=-3$。 因此 $z_{\min }=-3$，$z_{\max }=3$，即 $z\in [-3,3]$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量垂直的数量积坐标式、简单线性规划。
• 核心方法：将代数关系转化为线性规划目标函数，在多边形角点处取极值。
• 避坑指南：展开 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 时注意正负符号，避免变形错误导致斜率颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的“向量运算 + 线性规划”交汇题型，背景为赋范空间中对偶范数（${\ell }_1$ 范数区域上的线性泛函最值问题）。
• 结论推广：在 $|x|+|y|⩽r$ 的约束下，线性函数 $z=Ax+By$ 的取值范围为 $[-\max (|A|,|B|)r,\max (|A|,|B|)r]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式
• 1990-全国卷理-12 单-充要条件的判定
• 1991-全国卷理-26