2011-湖北卷理-12 填-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及超几何分布。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期. 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为$\underline{}$.（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 分析对立事件：至少取到 1 瓶过期饮料的对立事件是“2 瓶均为未过期饮料”。

2. 分别计算基本事件总数与对立事件包含的样本数。

3. 利用 $P(A)=1-P(\overline{A})$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{28}{145}$

✍【详细解析】

Abstract

记“至少取到 1 瓶已过保质期饮料”为事件 $A$，

其对立事件 $\overline{A}$ 为“抽取的 2 瓶饮料均未过保质期”。

未过保质期的饮料共有 $30-3=27$ 瓶。

从 30 瓶中任取 2 瓶的基本事件总数为 ${\mathrm{C}}_{30}^2$。

抽到 2 瓶均未过期的样本数为 ${\mathrm{C}}_{27}^2$。

则对立事件的概率为：

$P(\overline{A})=\frac{{\mathrm{C}}_{27}^2}{{\mathrm{C}}_{30}^2}=\frac{27\times 26}{30\times 29}=\frac{9\times 13}{5\times 29}=\frac{117}{145}$。

故所求概率为：

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{117}{145}=\frac{28}{145}$。

故填：$\frac{28}{145}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型与不放回抽样。

• 核心方法：“正难则反”，出现“至少一个”优先考虑对立事件。

• 避坑指南：计算约分时防止分子分母计算失误，结果必须化为最简分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的超几何分布模型无放回抽样。

• 结论推广：从含 $M$ 个次品的 $N$ 个产品中任取 $n$ 个，至少取到 1 个次品的概率为 $1-\frac{{\mathrm{C}}_{N-M}^n}{{\mathrm{C}}_N^n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷理-07 填-古典概型

• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列

• 2005-辽宁卷-03 单-古典概型