2011-湖北卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理与正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$. 已知 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$.

(1) 求 $△ABC$ 的周长；

(2) 求 $\cos (A-C)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 计算边长 $c$，相加得出周长。
2. 第 (2) 问：求出 $\sin C$；结合余弦定理求出 $\cos A$ 及 $\sin A$（或利用正弦定理求 $\sin A$ 再定 $\cos A$），展开两角差的余弦公式 $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$ 计算求值。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，由余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。 代入 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$，得： $c^2=1^2+2^2-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=1+4-1=4$。 解得 $c=2$。 所以 $△ABC$ 的周长为： $L=a+b+c=1+2+2=5$。

(2) 由 $c=2,b=2$ 可知，$△ABC$ 为等腰三角形，且 $C$ 为锐角。 因为 $\cos C=\frac{1}{4}$ 且 $C\in (0,\pi )$，所以： $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

由余弦定理得： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2^2+2^2-1^2}{2\times 2\times 2}=\frac{4+4-1}{8}=\frac{7}{8}$。 因为 $A\in (0,\pi )$，所以： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{7}{8}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{8}$。

由两角差的余弦公式： $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$ $=\frac{7}{8}\times \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{8}\times \frac{\sqrt{15}}{4}$ $=\frac{7}{32}+\frac{15}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理求边长、同角三角函数平方关系、两角和与差的三角公式。
• 核心方法：求角函数值时，优先通过余弦定理直接确定 $\cos A$，可天然规避开方时符号正负的讨论。
• 避坑指南：若用正弦定理求 $\sin A$，必须结合“大边对大角”（$a<b⟹A<B$）验证角 $A$ 的锐钝性以正确确定 $\cos A$ 的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考解三角形经典基础大题，考查正余弦定理与三角恒等变换两大核心主干的无缝交汇。
• 结论推广：在任意三角形中，展开式 $\cos (A-C)=\frac{b(a^2+c^2-b^2)+4S^2/b}{2ac}$ 可完全代数化表示为三边关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2008-重庆卷理-17