2011-湖北卷理-17 解-概率

本题导读

本题考查分段函数的解析式。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$（单位：千米/小时）是车流密度 $x$（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时. 研究表明：当 $20⩽x⩽200$ 时，车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数.

(1) 当 $0⩽x⩽200$ 时，求函数 $v(x)$ 的表达式；

(2) 当车流密度 $x$ 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）$f(x)=x\cdot v(x)$ 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时）

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据题意分段分析，$0⩽x⩽20$ 时 $v(x)=60$ 为常数函数；$20⩽x⩽200$ 时设 $v(x)=kx+b$，将点 $(20,60)$ 和 $(200,0)$ 代入求得解析式。

2. 第 (2) 问：分别写出两段区间上 $f(x)=x\cdot v(x)$ 的表达式，分别求出各段的最大值并比较大小，最后按要求四舍五入取整。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知：

当 $0⩽x⩽20$ 时，$v(x)=60$；

当 $20⩽x⩽200$ 时，设 $v(x)=kx+b$ ($k\ne 0$)。

因为函数图象过点 $(20,60)$ 和 $(200,0)$，所以：

$\{\begin{array}{l}20k+b=60\\ 200k+b=0\end{array}$，

解得 $\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{3}\\ b=\frac{200}{3}\end{array}$。

故 $v(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{200}{3}$。

综上所述，函数 $v(x)$ 的表达式为：

$v(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 0⩽x⩽20,\\ -\frac{1}{3}x+\frac{200}{3},& 20<x⩽200.\end{array}$

（注：端点 $x=20$ 处函数值连续，并在任意一段均可取等号）

(2) 由题意得，车流量函数为：

$f(x)=x\cdot v(x)=\{\begin{array}{ll}60x,& 0⩽x⩽20,\\ -\frac{1}{3}{x}^2+\frac{200}{3}x,& 20<x⩽200.\end{array}$

① 当 $0⩽x⩽20$ 时，$f(x)=60x$ 是关于 $x$ 的增函数，

所以当 $x=20$ 时，$f(x)$ 取得该段的最大值为：

$f(20)=60\times 20=1200$。

② 当 $20<x⩽200$ 时，

$f(x)=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{200}{3}x=-\frac{1}{3}(x-100{)}^2+\frac{10000}{3}$。

因为二次项系数 $-\frac{1}{3}<0$，对称轴为 $x=100\in (20,200]$，

所以当 $x=100$ 时，$f(x)$ 取得该段的最大值为：

$f(100)=\frac{10000}{3}\approx 3333.33$。

因为 $3333.33>1200$，

所以当 $x=100$ 时，车流量 $f(x)$ 达到最大，最大值约为 $3333$ 辆/小时。

答：当车流密度 $x$ 为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数模型的建立、闭区间上二次函数的最值判定。

• 核心方法：待定系数法求解析式、分段求最值后进行全局比较。

• 避坑指南：第 (1) 问不可遗漏定义域；第 (2) 问必须说明分段比较的过程，且最终结果需注意“精确到 1 辆/小时”的四舍五入要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于交通工程学经典的 Greenshields 速度-密度线性关系模型（$v=v_f(1-k/k_j)$），其中车流量为 $q=kv$。

• 结论推广：对于任何速度-密度呈线性衰减的关系模型 $v=v_0\left(1-\frac{x}{x_m}\right)$，最大流量始终在临界密度 $x=\frac{x_m}{2}$ 处取得，最大流量为 $q_{\max }=\frac{1}{4}{v}_0{x}_m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-21 解-分段函数的解析式求法

• 2005-上海卷理-19 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2010-北京卷文-09 填-框图分段函数