2011-福建卷理-17 解-切线

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 已知直线 $l:y=x+m$，$m\in \mathbf{R}$.

(1) 若以点 $M(2,0)$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切于点 $P$，且点 $P$ 在 $y$ 轴上，求该圆的方程；

(2) 若直线 $l$ 关于 $x$ 轴对称的直线为 $l^{\prime }$，问直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C:x^2=4y$ 是否相切？说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 点 $P$ 为直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点，令 $x=0$ 得 $P(0,m)$。
• 圆与直线 $l$ 相切于 $P$，由圆的性质知半径 $MP\perp l$，即 $k_{MP}\cdot k_l=-1$。
• 求出 $m$ 的值，确定切点 $P$ 坐标及半径平方 $r^2=|MP{|}^2$，写出圆的标准方程。

2. 第二问：

• 利用关于 $x$ 轴对称的变换（$y\to -y$）求出对称直线 $l^{\prime }$ 的方程。
• 联立直线 $l^{\prime }$ 与抛物线方程 $x^2=4y$，消元得到关于 $x$ 的一元二次方程。
• 计算判别式 $\Delta$，根据判别式是否可能为 0 讨论相切的存在性及对应参数 $m$ 的取值。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 在直线 $l:y=x+m$ 中，令 $x=0$，得 $y=m$。 因为切点 $P$ 在 $y$ 轴上，所以点 $P$ 的坐标为 $(0,m)$。 因为以点 $M(2,0)$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切于点 $P$， 所以 $MP\perp l$。 已知直线 $l$ 的斜率 $k_l=1$， 所以直线 $MP$ 的斜率满足：

$$k_{MP}=\frac{m-0}{0-2}=-\frac{m}{2}.$$

由垂直条件 $k_{MP}\cdot k_l=-1$，得：

$$-\frac{m}{2}\times 1=-1⟹m=2.$$

所以点 $P$ 的坐标为 $(0,2)$。 该圆的半径平方为：

$$r^2=|MP{|}^2=(2-0{)}^2+(0-2{)}^2=4+4=8.$$

又圆心为 $M(2,0)$， 所以该圆的方程为：

$$(x-2{)}^2+y^2=8.$$

(2) 解： 直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C$ 可以相切。理由如下： 由题意，直线 $l:y=x+m$ 关于 $x$ 轴对称的直线 $l^{\prime }$ 的方程为：

$$-y=x+m⟹y=-x-m.$$

联立直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C:x^2=4y$ 的方程：

$$\{\begin{array}{l}y=-x-m\\ x^2=4y\end{array}$$

消去 $y$，整理得：

$$x^2=4(-x-m)⟹x^2+4x+4m=0.$$

该一元二次方程的判别式为：

$$\Delta =4^2-4\times 1\times 4m=16-16m=16(1-m).$$

• 当 $\Delta =0$，即 $16(1-m)=0⟹m=1$ 时，方程有唯一实数解，此时直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C$ 相切；
• 当 $m\ne 1$ 时，直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C$ 相交或相离。

综上所述，当 $m=1$ 时，直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C$ 相切；当 $m\ne 1$ 时，直线 $l^{\prime }$ 与抛物线 $C$ 不相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：切线垂直于过切点的半径（$k_1{k}_2=-1$）、轴对称直线的方程求法、直线与二次曲线相切的判别式法（$\Delta =0$）。
• 核心方法：几何法求切线与代数判别式法判定相交相切。
• 避坑指南：
• 第 (2) 问为开放设问“是否相切？说明理由”，回答时务必分类严密说明“当且仅当 $m=1$ 时相切”，不可直接片面回答“是”或“否”；
• 求关于 $x$ 轴对称的直线方程时，注意将 $y$ 替换为 $-y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的解析几何基础综合题，结合了对称变换、圆的切线与抛物线的切线判定。
• 结论推广：对于抛物线 $x^2=2py$，斜率为 $k$ 的切线方程为 $y=kx-\frac{p{k}^2}{2}$。本题中 $p=2$，$k=-1$，切线纵截距为 $-\frac{2\times (-1{)}^2}{2}=-1$，对应 $-m=-1⟹m=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质