2011-辽宁卷文-06 单-分式奇函数求参

本题导读

本题考查奇函数的定义，以及分式函数。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 若函数 $f(x)=\frac{x}{(2x+1)(x-a)}$ 为奇函数，则 $a=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f(x)=\frac{x}{g(x)}$ 为奇 $⟺$ 分母 $g(x)$ 为偶函数
2. 步骤2：令一次项系数为零

✅【答案】

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A$a=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 为奇函数，且定义域关于原点对称（$x\ne -\frac{1}{2}$，$x\ne a$，需 $a=-a$？见下），分子 $x$ 是奇函数，故分母 $g(x)=(2x+1)(x-a)$ 必须是偶函数（奇偶性传递：$\frac{\text{奇}}{\text{偶}}=$ 奇）。

$g(x)=2x^2+(1-2a)x-a$，为偶函数当且仅当一次项系数为零：$1-2a=0$，$a=\frac{1}{2}$。

此时定义域为 $\{x\mid x\ne \pm \frac{1}{2}\}$，关于原点对称，满足奇函数前提。

验证：$g(-x)=g(x)$，$f(-x)=\frac{-x}{g(x)}=-f(x)$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的定义与偶函数分母的配合；多项式奇偶性的系数特征

核心方法：“奇除以偶等于奇”：分子已定奇，令分母为偶（一次项系数为零），再核对定义域对称

避坑指南：奇函数要求定义域关于原点对称——$a=\frac{1}{2}$ 时定义域恰好是 $x\ne \pm \frac{1}{2}$，若 $a$ 取其他值，定义域不对称，函数连奇函数的前提都不满足；只验 $f(-x)=-f(x)$ 于个别点而不管定义域，是常见失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数求参题与 2011-湖南卷文-12、2013-辽宁卷文-07、2012-新课标卷文-16 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\frac{x^m}{g(x)}$（$m$ 为奇数）为奇函数 $⟺g(x)$ 为偶函数；分式（根式）函数的奇偶性先把分子分母的奇偶拆开，再核对定义域。

方法推广：奇偶性求参：先写定义域并检查对称，再按”分子分母奇偶搭配”令多余项系数为零，最后代一个非零点验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-12 填-奇函数求值
• 2013-辽宁卷文-07 单-奇函数对数求值
• 2012-新课标卷文-16 填-奇函数最值之和