2011-辽宁卷文-20 解-切线定参证不等式

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及待定系数求解析式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 设函数 $f(x)=x+a{x}^2+b\ln x$，曲线 $y=f(x)$ 过点 $P(1,0)$，且在 $P$ 点处的切线斜率为 $2$.

(1)求 $a$，$b$ 的值；

(2)证明：$f(x)⩽2x-2$（$x>0$）.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）$f(1)=0$ 与 $f^{\prime }(1)=2$ 联立
2. 步骤2：（2）移项构造 $g(x)=x^2+x-2-3\ln x$
3. 步骤3：证 $g⩾g(1)=0$

✅【答案】

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(1) $a=-1$，$b=3$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(1)=1+a+b\ln 1=1+a=0$，得 $a=-1$。

$f^{\prime }(x)=1+2ax+\frac{b}{x}$，$f^{\prime }(1)=1+2a+b=2$，代入 $a=-1$ 得 $b=3$。

故 $f(x)=x-x^2+3\ln x$。

（2）要证 $f(x)⩽2x-2$，即证 $x-x^2+3\ln x⩽2x-2$，即证

$g(x)=x^2+x-2-3\ln x⩾0$（$x>0$）。

$g^{\prime }(x)=2x+1-\frac{3}{x}=\frac{2x^2+x-3}{x}=\frac{(2x+3)(x-1)}{x}$。

$x>0$ 时 $2x+3>0$，故 $g^{\prime }(x)$ 的符号由 $x-1$ 决定：$0<x<1$ 时 $g^{\prime }<0$，$g$ 递减；$x>1$ 时 $g^{\prime }>0$，$g$ 递增。

故 $g(x)⩾g(1)=1+1-2-3\ln 1=0$，当且仅当 $x=1$ 时取等号。

即 $f(x)⩽2x-2$ 成立，证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线的斜率与导数；对数函数求导；构造函数证不等式（最值法）

核心方法：两个独立条件（过点、切线斜率）解两个参数；证"$⩽$"移项作差，对差函数用单调性 + 最小值收口

避坑指南：$f(1)=1+a+b\ln 1$ 中 $\ln 1=0$ 别硬算；$g^{\prime }(x)$ 通分后因式分解 $(2x+3)(x-1)$，在 $x>0$ 上只有 $x=1$ 一个变号点，漏掉”$x>0$ 时 $2x+3>0$“的说明会显得符号判断无据；结论取等条件 $x=1$ 要写明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与不等式证明题与 2011-新课标卷文-21、2014-陕西卷文-21 同族。

结论推广：推广：$f(x)⩽h(x)$ 型证明，标准流程”作差 $g=h-f\to$ 求 $g^{\prime }$ 定单调 $\to$ 最值点取等”；对数函数的差函数求导后通分常析出一次因式（如 $x-1$），变号点与取等点重合是此类题的普遍结构。

方法推广：导数证明题：条件给”切线”就列 $f(x_0)$ 与 $f^{\prime }(x_0)$ 两个方程；证明不等式先移项，绝不硬除或强行放缩，单调性是最稳的路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合