2011-辽宁卷理-10 单-向量模长

本题导读

本题考查向量模长与几何意义，以及向量数量积的几何解释。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 若 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 均为单位向量，且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，$(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})⩽0$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|$ 的最大值为 ()

A. $\sqrt{2}-1$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 确定几何模型：将单位向量起点置于坐标原点 $O$。由 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$ 且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，可设 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(0,1)$。
2. 解析条件 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})⩽0$ 的几何意义：点 $C$ 在以 $A(1,0),B(0,1)$ 为直径端点的圆内或圆上。
3. 结合 $\mathbf{c}$ 也是单位向量（点 $C$ 在单位圆上），分析向量 $\mathbf{c}$ 的几何分布区域，并求解 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|$ 的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

建立平面直角坐标系，将向量起点均置于原点 $O$。 由 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$ 且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，可设： $A(1,0),B(0,1)$ 则 $\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{OB}$，向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(1,1)$ 对应点 $D(1,1)$。 设点 $C(x,y)$ 为向量 $\mathbf{c}$ 的终点。 由条件 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})⩽0$ 得： $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}⩽0$ 几何意义表示：点 $C$ 在以线段 $AB$ 为直径的圆盘 $\Omega$ 内（包括圆周）。 该圆的圆心为 $AB$ 的中点 $M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，半径为 $r=\frac{|AB|}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 圆方程为： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2⩽\frac{1}{2}⟺x^2+y^2-x-y⩽0$ 又因为 $\mathbf{c}$ 为单位向量，点 $C$ 满足 $|\mathbf{c}|=1$，即： $x^2+y^2=1$ 代入不等式得： $1-(x+y)⩽0⟹x+y⩾1$ 待求模长 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|=|\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{CD}|$，即点 $D(1,1)$ 与点 $C(x,y)$ 之间的距离。 展开模长平方： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}{|}^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2+|\mathbf{c}{|}^2-2(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$ 因为 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=1^2+1^2=2$，$|\mathbf{c}{|}^2=1$， 所以： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}{|}^2=3-2(x+y)$ 要使 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|$ 取最大值，需使 $x+y$ 取最小值。 在约束条件 $x^2+y^2=1$ 且 $x+y⩾1$ 下，$x+y$ 的最小值为 1（当 $(x,y)=(1,0)$ 或 $(0,1)$ 时取得）。 代入得： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}{|}_{\max }^2=3-2\times 1=1$ 故 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|$ 的最大值为 $\sqrt{1}=1$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量数量积的几何意义（两点连线夹角为钝角或直角对应圆内部）与模长极值。
• 核心方法：建系坐标化，将几何关系转化为代数不等式与三角/距离最值。
• 避坑指南：容易凭感觉直接用三角不等式放缩 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}|⩽|\mathbf{a}+\mathbf{b}|+|\mathbf{c}|=\sqrt{2}+1$，忽视了条件 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})⩽0$ 的强几何约束限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：阿波罗尼斯圆及向量点积几何意义的高考创新综合题。
• 结论推广：对单位圆上三点，若 $A\perp B$，则以 $AB$ 为直径的圆截单位圆所得劣弧为可行域，此时目标点 $A+B$ 到该弧上点的距离在端点处取得最大值 1。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角
• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积
• 2008-浙江卷文-16 填-向量模长范围