2011-辽宁卷理-11 单-导数综合

本题导读

本题考查构造辅助函数，以及利用导数判断函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(-1)=2$，对任意 $x\in \mathbf{R}$，$f^{\prime }(x)>2$，则 $f(x)>2x+4$ 的解集为 ()

A. $(-1,1)$　　　　B. $(-1,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,-1)$　　　　D. $(-\infty ,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 移项观察不等式结构：$f(x)-(2x+4)>0$。
2. 构造辅助函数 $g(x)=f(x)-2x-4$。
3. 求导得 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$，利用已知 $f^{\prime }(x)>2$ 判断 $g(x)$ 单调性。
4. 计算零点 $g(-1)$，根据单调性写出解集。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设辅助函数 $g(x)=f(x)-2x-4$。 对其求导得： $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$ 因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有 $f^{\prime }(x)>2$， 所以 $g^{\prime }(x)>0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立，即函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 又因为 $f(-1)=2$，代入计算 $g(-1)$： $g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0$ 原不等式 $f(x)>2x+4$ 等价于： $g(x)>0⟺g(x)>g(-1)$ 结合 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的严格单调递增性，解得： $x>-1$ 即不等式的解集为 $(-1,+\infty )$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数背景下的构造函数法与单调性解不等式。
• 核心方法：将形如 $f^{\prime }(x)>k$ 的条件与 $f(x)>kx+b$ 的形式关联，直接构造 $g(x)=f(x)-kx$。
• 避坑指南：切勿尝试求解原函数具体表达式，只需识别函数差的单调性与零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：拉格朗日中值定理与利用导数符号确定增减性的基础变式。
• 结论推广：若 $f^{\prime }(x)>k$ 在区间上恒成立，则对任意 $x>x_0$，恒有 $f(x)>f(x_0)+k(x-x_0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-12 单-构造辅助函数
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13