2011-辽宁卷理-12 单-三视图

本题导读

本题考查球的内接几何体与球冠性质，以及三棱锥的体积计算。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 已知球的直径 $SC=4$，$A,B$ 是该球球面上的两点，$AB=\sqrt{3}$，$\angle ASC=\angle BSC=30^{\circ }$，则棱锥 $S-ABC$ 的体积为 ()

A. $3\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 直径所对的圆周角为直角：由 $SC$ 为直径，可知 $\angle SAC=\angle SBC=90^{\circ }$。
2. 在直角三角形中求出各棱长：已知 $SC=4$ 及 $\angle ASC=\angle BSC=30^{\circ }$，可解出 $SA,AC,SB,BC$。
3. 空间构型还原与底面高分析：计算 $△ABC$ 的三边长，确定底面形状；通过等腰三角形空间翻折或二面角求棱锥的高。
4. 计算棱锥 $S-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $SC$ 为球的直径，且 $A,B$ 在球面上， 所以 $SC$ 对 $A,B$ 所张的角均为直角，即： $\angle SAC=90^{\circ },\angle SBC=90^{\circ }$ 在 $\text{Rt}△SAC$ 中，$SC=4$，$\angle ASC=30^{\circ }$： $SA=SC\cos 30^{\circ }=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ $AC=SC\sin 30^{\circ }=4\times \frac{1}{2}=2$ 同理，在 $\text{Rt}△SBC$ 中，$SC=4$，$\angle BSC=30^{\circ }$： $SB=2\sqrt{3},BC=2$ 在 $△ABC$ 中，已知 $AC=2,BC=2,AB=\sqrt{3}$， 作 $CD\perp AB$ 于 $D$，由等腰三角形性质得 $D$ 为 $AB$ 中点，则： $AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$ 底面 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{39}}{4}$ 在 $△SAB$ 中，$SA=2\sqrt{3},SB=2\sqrt{3},AB=\sqrt{3}$， 连结 $SD$（$SD\perp AB$）： $SD=\sqrt{S{A}^2-A{D}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{12-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ 在 $△SCD$ 中，三边长分别为： $SC=4,CD=\frac{\sqrt{13}}{2},SD=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ 计算三边平方： $C{D}^2+S{D}^2=\frac{13}{4}+\frac{45}{4}=\frac{58}{4}\ne 16$ 采用以 $C$ 为顶点转化顶点算体积更便捷： $V_{S-ABC}=V_{C-SAB}$。 设棱锥以 $△SAB$ 为底面，高为点 $C$ 到平面 $SAB$ 的距离。 在 $△SCD$ 中，利用余弦定理求 $\angle SDC$： $\cos \angle SDC=\frac{S{D}^2+C{D}^2-S{C}^2}{2SD\cdot CD}=\frac{\frac{45}{4}+\frac{13}{4}-16}{2\times \frac{3\sqrt{5}}{2}\times \frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{\frac{58}{4}-\frac{64}{4}}{\frac{3\sqrt{65}}{2}}=\frac{-\frac{6}{4}}{\frac{3\sqrt{65}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{65}}$ 因为 $AB\perp SD$ 且 $AB\perp CD$，所以 $AB\perp$ 平面 $SCD$， 因此平面 $SCD$ 与平面 $SAB$ 垂直，二面角 $C-AB-S$ 即为 $\angle SDC$。 点 $C$ 到平面 $SAB$ 的高即为点 $C$ 到直线 $SD$ 的距离 $h_C$： $\sin \angle SDC=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{\sqrt{65}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{64}{65}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$ $h_C=CD\cdot \sin \angle SDC=\frac{\sqrt{13}}{2}\times \frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$ 底面 $△SAB$ 的面积为： $S_{△SAB}=\frac{1}{2}AB\cdot SD=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$ 所以棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△SAB}\times h_C=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{15}}{4}\times \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}\times 4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{3}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直径所对圆周角的直角性质、二面角平面角求法与等体积转换法。
• 核心方法：
• 看到“球直径对两点”，立即联想到 $\angle SAC=\angle SBC=90^{\circ }$ 确定各边长；
• 换底法求体积（将 $V_{S-ABC}$ 转化为 $V_{C-SAB}$），利用面面垂直作高。
• 避坑指南：直接求点 $S$ 到底面 $△ABC$ 的高较容易在钝角三角形投影处犯错，换底为 $△SAB$ 并借助 $AB\perp$ 平面 $SCD$ 可以将空间距离直接退化为平面几何计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：球面几何中关于两共起点等长弦在空间形成的立体角与体积模型。
• 结论推广：若线段 $PQ$ 为外接球直径，则以 $P$ 为顶点的所有母线与对应切球截面的夹角满足直角三角正射影定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-重庆卷文-20 解-线面垂直与体积