2011-辽宁卷理-16 填-正切函数

本题导读

本题考查正切函数的图象与性质，以及由图象确定正切函数解析式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\tan (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\right)$，$y=f(x)$ 的部分图象如图，则 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察图象特征：相邻的一条渐近线为 $x=\frac{\pi }{8}$，与其相邻的零点（对称中心）为 $\left(\frac{3\pi }{8},0\right)$，由此求出四分之一周期，进而确定周期 $T$ 及参数 $\omega$。
2. 根据渐近线或零点对应相位的关系，结合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 确定初相 $\phi$。
3. 利用图象经过点 $(0,1)$ 代入求振幅参数 $A$。
4. 写出完整的函数解析式并计算 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)$ 的值。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由图象可知，一条渐近线为 $x=\frac{\pi }{8}$，其右侧相邻零点为 $x=\frac{3\pi }{8}$。 正切函数相邻零点与渐近线之间的距离为四分之一周期，即： $\frac{T}{4}=\frac{3\pi }{8}-\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{4}⟹T=\pi$ 因为 $\omega >0$，所以： $T=\frac{\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =1$ 由于 $x=\frac{\pi }{8}$ 是函数在该周期右侧的渐近线，对应正切函数的渐近线相位： $\omega \cdot \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}⟹1\times \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}⟹\phi =\frac{3\pi }{8}$ 此时不满足 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$。 重新考察原点附近的单调区间： 在原点所在的这一个周期内，零点位于 $x<0$ 的负半轴，右侧渐近线为 $x=\frac{\pi }{8}$，左侧渐近线为 $x=\frac{\pi }{8}-\frac{T}{2}=\frac{\pi }{8}-\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{8}$。 其对称中心（零点）为两条渐近线的中点： $x_0=\frac{\frac{\pi }{8}+\left(-\frac{3\pi }{8}\right)}{2}=-\frac{\pi }{8}$ 因此： $\omega \cdot \left(-\frac{\pi }{8}\right)+\phi =0⟹-\frac{\pi }{8}+\phi =0⟹\phi =\frac{\pi }{8}$ 满足 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$。 此时函数为 $f(x)=A\tan \left(x+\frac{\pi }{8}\right)$。 由图象可知，函数图象过点 $(0,1)$，代入得： $f(0)=A\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)=1⟹A=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{8}}$ 因此： $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=A\tan \left(\frac{\pi }{24}+\frac{\pi }{8}\right)=A\tan \left(\frac{4\pi }{24}\right)=A\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{6}}{\tan \frac{\pi }{8}}$ 利用半角公式求 $\tan \frac{\pi }{8}$： $\tan \frac{\pi }{8}=\frac{\sin \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ 代入计算得： $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$ 故答案为：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由正切函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的图象求解参数 $\omega ,\phi ,A$。
• 核心方法：
• 周期确定：渐近线到相邻零点的间距为 $\frac{T}{4}$；
• 零点代换：对称中心满足 $\omega x_0+\phi =k\pi$，代入时结合初相区间限制确定 $k$；
• 纵向放缩：利用特殊点 $(0,1)$ 求解 $A$。
• 避坑指南：必须注意正切函数的初相范围 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，切勿误选对应 $k=1$ 的周期导致初相越界。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自必修四三角函数图象与性质中求型如 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 逆向参数的经典题型。
• 结论推广：对任意正切型函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )$，相邻两零点间距为 $\frac{\pi }{\omega }$，相邻零点与渐近线间距为 $\frac{\pi }{2\omega }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-上海卷-17 单-正切函数的最小正周期
• 2001-上海卷理-03 填-同角三角函数关系
• 2004-全国卷II理-05 单-正切函数