2011-辽宁卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$PD\parallel QA$，$QA=AB=\frac{1}{2}PD$.

(1) 证明：平面 $PQC\perp$ 平面 $DCQ$；

(2) 求二面角 $Q-BP-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：利用 $PD\perp$ 平面 $ABCD$ 证 $CD\perp$ 平面 $PADQ$，从而 $CD\perp PQ$；再在直角梯形 $PADQ$ 中通过勾股定理逆定理证 $PQ\perp DQ$，进而得 $PQ\perp$ 平面 $DCQ$，得出面面垂直。
2. 对 (2)：以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA,DC,DP$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，求出平面 $QBP$ 与平面 $CBP$ 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为四边形 $ABCD$ 为正方形，所以 $CD\perp AD$。 又 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，$CD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PD\perp CD$。 因为 $AD\cap PD=D$，所以 $CD\perp$ 平面 $PADQ$。 因为 $PQ\subset$ 平面 $PADQ$，所以 $CD\perp PQ$。 设 $AB=1$，则 $QA=1,PD=2$。 在直角梯形 $PADQ$ 中，$PD\parallel QA$，$AD\perp PD$，$AD=1$， 由勾股定理得： $D{Q}^2=A{D}^2+Q{A}^2=1^2+1^2=2$ $P{Q}^2=A{D}^2+(PD-QA{)}^2=1^2+(2-1{)}^2=2$ $D{P}^2=2^2=4$ 因为 $D{Q}^2+P{Q}^2=D{P}^2$，所以 $PQ\perp DQ$。 又 $CD\cap DQ=D$，$CD,DQ\subset$ 平面 $DCQ$， 所以 $PQ\perp$ 平面 $DCQ$。 又因为 $PQ\subset$ 平面 $PQC$， 所以平面 $PQC\perp$ 平面 $DCQ$。

(2) 以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DP}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 设 $AB=1$，则各点坐标为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),Q(1,0,1)$ 则相关向量为： $\overrightarrow{BP}=(-1,-1,2),\overrightarrow{BQ}=(0,-1,1),\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)$ 设平面 $QBP$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{BP}=-x_1-y_1+2z_1=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{BQ}=-y_1+z_1=0\end{array}$ 取 $z_1=1$，解得 $y_1=1,x_1=1$，故 ${\mathbf{n}}_1=(1,1,1)$。 设平面 $CBP$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=-x_2=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BP}=-x_2-y_2+2z_2=0\end{array}$ 取 $z_2=1$，解得 $x_2=0,y_2=2$，故 ${\mathbf{n}}_2=(0,2,1)$。 设二面角 $Q-BP-C$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角， 则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|1\times 0+1\times 2+1\times 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\times \sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ 所以二面角 $Q-BP-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：面面垂直判定（转化为线面垂直）、利用法向量夹角求二面角余弦值。
• 核心方法：
• 证明面面垂直抓“线线垂直”：$PQ\perp CD$（面外垂直）与 $PQ\perp DQ$（平面几何勾股逆定理）；
• 建系求解二面角时，注意两平面法向量的设立与点乘化简。
• 避坑指南：第 (2) 问求出向量夹角后，需结合空间图形判断二面角为锐角还是钝角，避免正负号判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自翻折几何与直棱柱截角模型，以正方形底面与侧棱垂线为基底建立正交系。
• 结论推广：在直角梯形翻折/拼接模型中，两平行立柱端点与对侧底边构成的倾斜线段，常具备与侧垂面正交的垂直特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角