2011-重庆卷理-09 单-球内接体

本题导读

本题考查球的内接几何体，以及空间几何体中的球心与截面圆性质。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 高为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，点 $S,A,B,C,D$ 均在半径为 $1$ 的同一球面上，则底面 $ABCD$ 的中心与顶点 $S$ 之间的距离为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面正方形的中心为 $O_1$，球心为 $O$，求出正方形外接圆半径 $r$。
2. 在直角三角形中利用球半径 $R=1$ 与 $r$ 求出球心到截面底面的距离 $d=|O{O}_1|$。
3. 结合棱锥的高 $h=\frac{\sqrt{2}}{4}$，确定球心 $O$、底面截面圆心 $O_1$ 与顶点 $S$ 在空间中的投影相对位置。
4. 建立直角三角形或轴对称关系，计算距离 $|S{O}_1|$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

记底面正方形中心为 $O_1$，球心为 $O$，球半径 $R=1$。 正方形边长为 $1$，其外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为底面顶点 $A,B,C,D$ 在球面上，所以球心 $O$ 到底面 $ABCD$ 的距离为： $d=|O{O}_1|=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 设底面所在平面为 $\alpha$，顶点 $S$ 到底面的距离即棱锥的高 $h=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 设球心 $O$ 在底面的投影为 $O_1$，以 $O_1$ 为原点建立空间坐标系，使底面在 $xy$ 平面： 则底面中心 $O_1(0,0,0)$，球心坐标为 $O\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。 因为 $S$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $h=\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以点 $S$ 的竖坐标 $z_S=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 又点 $S$ 在球面上，满足 $x_S^2+y_S^2+{\left(z_S-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=R^2=1$。 将 $z_S=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 代入： $x_S^2+y_S^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1⟹x_S^2+y_S^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2=1$ $⟹x_S^2+y_S^2+\frac{1}{8}=1⟹x_S^2+y_S^2=\frac{7}{8}$。 因此，中心 $O_1(0,0,0)$ 与顶点 $S(x_S,y_S,z_S)$ 的距离为： $|S{O}_1|=\sqrt{x_S^2+y_S^2+z_S^2}=\sqrt{\frac{7}{8}+{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{8}}=\sqrt{1}=1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：外接球模型、小圆截面定理 $R^2=r^2+d^2$。
• 核心方法：坐标化法或勾股定理分解法（将空间距离拆解为水平偏心距与竖直高度的勾股和）。
• 避坑指南：切勿先入为主地假定棱锥是正四棱锥（题目未说明 $S$ 的投影即底面中心，事实上若为正四棱锥，高必须为 $R-d=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{4}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：对传统“正棱锥外接球”模型的深度变式拓展，打破“顶点在中心投影正上方”的思维定势。
• 结论推广：若点 $S$ 所在纬度圆高度固定，底面中心亦处于对称轴上，则中心到球面上任意同纬度点的距离恒为定值 $\sqrt{R^2-2d\cdot z_S}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2008-大纲卷II理-12