2011-重庆卷理-21 解-数列综合

本题导读

本题考查数列递推关系与通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)）

设实数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}=a_{n+1}{S}_n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) 若 $a_1,S_2,-2a_2$ 成等比数列，求 $S_2$ 和 $a_3$；

(2) 求证：对 $k⩾3$ 有 $0⩽a_{k+1}⩽a_k⩽\frac{4}{3}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 代入递推式得 $S_{n+1}=(S_{n+1}-S_n)S_n$。对于 $n=1$，有 $S_2=(S_2-S_1)S_1=a_2{a}_1$。结合等比中项性质 $S_2^2=a_1(-2a_2)=-2a_1{a}_2$，建立方程求出 $S_2$ 与 $a_1,a_2$，进而求出 $a_3$。

2. 第二问：分析递推关系式 $S_{n+1}(S_n-1)=S_n^2$ 或写为 $\frac{1}{a_{n+1}}=1-\frac{1}{S_n}$。利用数学归纳法证明当 $k⩾3$ 时各状态量的取值范围与单调递减性。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 及已知 $S_{n+1}=a_{n+1}{S}_n$ 得：

S_{n+1} = (S_{n+1} - S_n)S_n.

当 $n=1$ 时，

S_2 = (S_2 - S_1)S_1 = a_2 a_1.

又 $a_1,S_2,-2a_2$ 成等比数列，所以：

S_2^2 = a_1(-2a_2) = -2a_1 a_2.

若 $S_2=0$，则公比不存在或各项为 0 与等比数列定义不符（等比数列各项非零），故 $S_2\ne 0$。

将 $a_1{a}_2=S_2$ 代入得：

S_2^2 = -2S_2 \implies S_2 = -2.

当 $n=2$ 时，由递推式 $S_3=a_3{S}_2$ 及 $S_3=S_2+a_3$ 得：

S_2 + a_3 = a_3 S_2.

代入 $S_2=-2$ 得：

-2 + a_3 = -2a_3 \implies 3a_3 = 2 \implies a_3 = \dfrac{2}{3}.

综上，$S_2=-2$，$a_3=\frac{2}{3}$。

(2) 由递推式 $S_{n+1}=a_{n+1}{S}_n=(S_{n+1}-S_n)S_n$，整理得：

S_{n+1}(1 - S_n) = -S_n^2 \implies S_{n+1} = \dfrac{S_n^2}{S_n - 1} \quad (S_n \neq 1).

两边同除以 $S_n$ 得：

a_{n+1} = \dfrac{S_{n+1}}{S_n} = \dfrac{S_n}{S_n - 1} = 1 + \dfrac{1}{S_n - 1}.

由 (1) 知 $S_2=-2$。

当 $n=2$ 时：

S_3 = \dfrac{S_2^2}{S_2 - 1} = \dfrac{(-2)^2}{-2 - 1} = -\dfrac{4}{3}.

代入得 $a_3=\frac{S_2}{S_2-1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。

当 $n=3$ 时：

S_4 = \dfrac{S_3^2}{S_3 - 1} = \dfrac{\left(-\frac{4}{3}\right)^2}{-\frac{4}{3} - 1} = \dfrac{\frac{16}{9}}{-\frac{7}{3}} = -\dfrac{16}{21},

a_4 = \dfrac{S_3}{S_3 - 1} = \dfrac{-\frac{4}{3}}{-\frac{7}{3}} = \dfrac{4}{7}.

显然 $0⩽a_4=\frac{4}{7}⩽a_3=\frac{2}{3}⩽\frac{4}{3}$，即当 $k=3$ 时，结论成立。

下面用数学归纳法证明：对任意整数 $n⩾3$，均有 $-2⩽S_n<0$。

① 当 $n=3$ 时，$S_3=-\frac{4}{3}\in [-2,0)$，结论成立。

② 假设当 $n=m$ ($m⩾3$) 时，$-2⩽S_m<0$ 成立。

考察函数 $h(t)=\frac{t^2}{t-1}$ 在区间 $[-2,0)$ 上的单调性：

h’(t) = \dfrac{2t(t - 1) - t^2}{(t - 1)^2} = \dfrac{t(t - 2)}{(t - 1)^2}.

当 $t\in [-2,0)$ 时，$t<0$ 且 $t-2<0$，所以 $t(t-2)>0$，故 $h^{\prime }(t)>0$，即 $h(t)$ 在 $[-2,0)$ 上单调递增。

因此：

h(-2) \leqslant h(S_m) < h(0) \implies -\dfrac{4}{3} \leqslant S_{m+1} < 0.

显然 $[-4/3,0)\subset [-2,0)$，即 $-2⩽S_{m+1}<0$ 也成立。

由 ①② 可知，对任意 $n⩾3$，恒有 $-2⩽S_n<0$。

因为对所有 $n⩾3$，$S_n<0$，

所以 $a_{n+1}=\frac{S_n}{S_n-1}=\frac{|S_n|}{|S_n|+1}>0$。

又因为 $S_n⩽-\frac{4}{3}<0$ 对所有 $n⩾3$ 成立（由于 $S_3=-\frac{4}{3}$ 且 $S_{n+1}⩾-\frac{4}{3}$），

易知 $a_n=\frac{S_{n-1}}{S_{n-1}-1}⩽\frac{2}{3}⩽\frac{4}{3}$。

再比较相邻两项 $a_{k+1}$ 与 $a_k$：

a_{k+1} - a_k = \dfrac{S_k}{S_k - 1} - \dfrac{S_{k-1}}{S_{k-1} - 1} = \dfrac{S_k(S_{k-1} - 1) - S_{k-1}(S_k - 1)}{(S_k - 1)(S_{k-1} - 1)} = \dfrac{S_{k-1} - S_k}{(S_k - 1)(S_{k-1} - 1)}.

因为 $S_k-S_{k-1}=a_k>0$，所以 $S_{k-1}-S_k=-a_k<0$。

又因为 $S_k<0,S_{k-1}<0$，所以分母 $(S_k-1)(S_{k-1}-1)>0$。

因此 $a_{k+1}-a_k<0$，即 $a_{k+1}⩽a_k$。

综上所述，对任意 $k⩾3$，恒有 $0⩽a_{k+1}⩽a_k⩽\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的关系式转化、分式递推数列的有界性与单调性证明。

• 核心方法：

• 构造函数法分析分式递推数列 $x_{n+1}=f(x_n)$ 的单调性与值域；

• 数学归纳法证明不动点区间与有界性。

• 避坑指南：

• 第一问中等比数列各项非零，应排除 $S_2=0$ 的伪解；

• 第二问证明单调性时，注意分母 $(S_k-1)(S_{k-1}-1)$ 的正负号判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：非线性动力系统中的一维迭代映射（如分式线性与二次分式映射的局部收敛性分析）。

• 结论推广：对于递推式 $S_{n+1}=\frac{S_n^2}{S_n-c}$，若初值落入吸引子单调区间，则数列呈现出全局单调有界性，由单调有界收敛定理可进一步探讨其极限。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-22 解-数列递推关系与不等式证明

• 2008-安徽卷理-21

• 1984-全国卷理-19