2011-陕西卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 满足 $f(-x)=f(x)$，$f(x+2)=f(x)$，则 $y=f(x)$ 的图象可能是 ()

🔍【思路分析】

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1. 由 $f(-x)=f(x)$ 可知 $f(x)$ 为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，排除不关于 $y$ 轴对称的选项。
2. 由 $f(x+2)=f(x)$ 可知函数的周期为 2（或周期的正整数倍为 2），在图象上体现为波形重复的水平间距应为 2。
3. 比较各选项中图象的周期：选项 A 的周期为 2；选项 C、D 的周期为 4。由此确定正确图象。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(-x)=f(x)$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立， 所以函数 $y=f(x)$ 为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。

• 观察选项 C、D，图象不关于 $y$ 轴对称（C 关于原点中心对称，D 在 $x=0$ 处不对称），均排除； 又因为 $f(x+2)=f(x)$， 所以函数 $f(x)$ 的一个周期为 $T=2$。
• 观察选项 A，其波形相邻同相位点的间距并不等于 2（不满足周期为 2），排除 A；
• 观察选项 B，图象既关于 $y$ 轴对称（偶函数），又满足相邻同相位点间距为 2（周期为 2），同时符合两个条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：偶函数的几何对称轴（$x=0$）与周期函数的图象特征。
• 核心方法：
• 抓对称性：偶函数关于 $y$ 轴对称；
• 抓周期长度：周期为 2 意味着图象平移 2 个单位后完全重合。
• 避坑指南：仔细观察横坐标刻度，选项 A 的极大值点在 $x=-2,0,2$，周期恰为 2；选项 C 极大值点在 $x=0,4$，误选 C 往往是忽视了刻度数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一函数性质（奇偶性与周期性）的直观图象考查。
• 结论推广：若函数满足 $f(-x)=f(x)$ 且 $f(x+T)=f(x)$，则其图象具有双重对称性，直线 $x=\frac{kT}{2}(k\in \mathbf{Z})$ 均为其对称轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1996-全国卷理-15
• 2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性