2011-陕西卷理-12 填-一元二次方程

本题导读

本题考查一元二次方程的判别式与整数根，以及充要条件的确定。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 设 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，一元二次方程 $x^2-4x+n=0$ 有整数根的充要条件是 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程有实根要求判别式 $\Delta ⩾0$，即 $16-4n⩾0⟹n⩽4$。
2. 结合 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，可知 $n$ 的可能取值仅为 $1,2,3,4$。
3. 一元二次方程首项系数为 1，方程有整数根充要条件为判别式 $\Delta$ 必须为完全平方数（或者逐一代入 $n=1,2,3,4$ 检验是否产生整数解）。

✅【答案】

点击查看答案

3 或 4

✍【详细解析】

Abstract

方程 $x^2-4x+n=0$ 的判别式为： $\Delta =(-4{)}^2-4\times 1\times n=16-4n$ 因为方程有实数根，所以： $\Delta ⩾0⟹16-4n⩾0⟹n⩽4$ 又已知 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，所以 $n$ 只能取 $1,2,3,4$。 方程的求根公式为： $x=\frac{4\pm \sqrt{16-4n}}{2}=2\pm \sqrt{4-n}$ 要使方程的根为整数，当且仅当 $4-n$ 是完全平方数：

• 当 $n=1$ 时，$4-n=3$，$\sqrt{3}$ 不是整数；
• 当 $n=2$ 时，$4-n=2$，$\sqrt{2}$ 不是整数；
• 当 $n=3$ 时，$4-n=1=1^2$，此时 $x=2\pm 1$，即 $x=1$ 或 $x=3$，均为整数，符合题意；
• 当 $n=4$ 时，$4-n=0=0^2$，此时 $x=2$ 为整数重根，符合题意。 综上，方程有整数根的充要条件是 $n=3$ 或 $4$。 故答案为：3 或 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：整系数二次方程整数根判定定理、完全平方数。
• 核心方法：
• 范围确定：利用 $\Delta ⩾0$ 和 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 迅速锁定有限个整数点；
• 逐一检验判别式开方结果是否为整数。
• 避坑指南：容易遗漏重根情况 $n=4$（判别式为 0 也是完全平方数）；填写答案时必须写完整“3 或 4”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：初等数论中整系数二次方程根的有理性质与整数性质的经典综合考题。
• 结论推广：形如 $x^2-2kx+n=0$ 有整数解的充要条件是 $k^2-n$ 为某个非负整数的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质