2012-上海卷理-08 填-圆锥体积

本题导读

本题考查圆锥侧面展开图的几何性质，以及圆锥体积的计算。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 $2\pi$ 的半圆面，则该圆锥的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由半圆面积求母线长 $l$：利用 $\frac{1}{2}\pi l^2=2\pi$。
2. 由弧长求底面半径 $r$：半圆弧长等于底面圆的周长。
3. 由勾股定理求高再求体积：$h=\sqrt{l^2-r^2}$，$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求母线长 $l$ 设圆锥的母线长为 $l$，其侧面展开图是半径为 $l$ 的半圆，由面积为 $2\pi$ 得 $\frac{1}{2}\pi l^2=2\pi$ 解得 $l^2=4$，即 $l=2$。

第二步：求底面半径 $r$ 半圆的弧长为 $\pi l=2\pi$，它等于底面圆的周长 $2\pi r$，于是 $2\pi r=2\pi ⟹r=1$

第三步：求高与体积 由勾股定理，圆锥的高为 $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ 代入体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$

故填入答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：侧面展开图中“母线长—扇形半径”“底面周长—扇形弧长”的对应关系。

核心方法：“展开还原法”。把空间图形还原到展开图上，利用两个关键等量关系依次求出 $l$、$r$、$h$。

避坑指南：- 半圆面积是 $\frac{1}{2}\pi l^2$ 而不是 $\pi l^2$，用错会导致 $l=\sqrt{2}$ 并引发后续连锁错误。 - 体积公式中的高必须用勾股定理 $h=\sqrt{l^2-r^2}$ 求得，不能把母线长直接当作高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：扇形的弧长公式与面积公式、勾股定理、圆锥的体积公式。

结论推广：若侧面展开图扇形的圆心角为 $\theta$，则 $\frac{r}{l}=\frac{\theta }{2\pi }$，这一比例可统一处理各类侧面展开问题。

方法推广：处理旋转体侧面展开类问题，只需抓住扇形半径（母线）、弧长（底面周长）、圆心角这三个量之间的两个比例关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-16 填-圆锥性质

• 1994-全国卷文-19 填-圆锥的体积

• 1952-全国-11 填-直圆锥体积