2012-上海卷理-13 填-定积分面积

本题导读

本题考查由折线图象求分段函数解析式，以及利用定积分求平面图形的面积。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 已知函数 $y=f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A(0,0),B(\frac{1}{2},5),C(1,0)$.函数 $y=xf(x)$（$0⩽x⩽1$）的图象与 $x$ 轴围成的图形的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分段求解析式：由 $A,B,C$ 三点坐标求出 $AB$ 段与 $BC$ 段的斜率，写出 $f(x)$。
2. 写出被积函数：所求面积为 ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x$，按 $x=\frac{1}{2}$ 分段。
3. 分段积分求和：分别计算两段定积分后相加。

✅【答案】

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$\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分段求出 $f(x)$ 的解析式 $AB$ 段的斜率为 $\frac{5-0}{\frac{1}{2}-0}=10$，故当 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 时，$f(x)=10x$。 $BC$ 段的斜率为 $\frac{0-5}{1-\frac{1}{2}}=-10$，故当 $\frac{1}{2}\le x\le 1$ 时，$f(x)=10-10x$。

第二步：列出定积分并分段 所求图形的面积为 $S={\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{1}{2}}10x^2\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}x(10-10x)\mathrm{d}x$

第三步：逐段计算 ${\int }_0^{\frac{1}{2}}10x^2\mathrm{d}x=10\times \frac{x^3}{3}{|}_0^{\frac{1}{2}}=10\times \frac{1}{24}=\frac{5}{12}$ ${\int }_{\frac{1}{2}}^1(10x-10x^2)\mathrm{d}x=\left(5x^2-\frac{10}{3}{x}^3\right){|}_{\frac{1}{2}}^1$ 当 $x=1$ 时该原函数为 $5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$；当 $x=\frac{1}{2}$ 时为 $\frac{5}{4}-\frac{10}{3}\times \frac{1}{8}=\frac{5}{4}-\frac{5}{12}=\frac{5}{6}$。因此 ${\int }_{\frac{1}{2}}^1(10x-10x^2)\mathrm{d}x=\frac{5}{3}-\frac{5}{6}=\frac{5}{6}$

第四步：求和 $S=\frac{5}{12}+\frac{5}{6}=\frac{5}{12}+\frac{10}{12}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$

故填入答案为：$\frac{5}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由折线图写分段函数解析式，以及用定积分求曲边图形的代数面积。

核心方法：“分段法”。先按折点分段写出解析式，再把积分区间随之分割后分别计算。

避坑指南：- $xf(x)$ 的被积函数是 $x$ 乘以 $f(x)$，不要漏写因子 $x$。 - 第二段的原函数值是“上界减去下界”，即 $\frac{5}{3}-\frac{5}{6}$，顺序颠倒会得到负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一次函数的解析式、幂函数的定积分公式、定积分的几何意义。

结论推广：一般地 ${\int }_0^a{x}^n\mathrm{d}x=\frac{a^{n+1}}{n+1}$，折线函数与坐标轴围成的面积也可用三角形面积公式直接核算。

方法推广：遇到“图象为折线”的函数，一律先在折点处分段；涉及面积时既可用定积分，也可用几何图形面积公式交叉验证。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 1977-山东A-13 解-定积分证椭圆面积
• 1977-云南-09 解-定积分换元
• 1958-黑吉辽-07 解-无穷正方形面积总和