2012-上海卷理-20 解-对数函数与反函数

本题导读

本题考查对数不等式的求解。核心在于换元法、分段讨论的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=\lg (x+1)$.

(1) 若 $0<f(1-2x)-f(x)<1$，求 $x$ 的取值范围；

(2) 若 $g(x)$ 是以 $2$ 为周期的偶函数，且当 $0⩽x⩽1$ 时，有 $g(x)=f(x)$，求函数 $y=g(x)$（$x\in [1,2]$）的反函数.

🔍【思路分析】

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1. 第一问先定定义域：由 $x+1>0$ 与 $2-2x>0$ 确定 $x$ 的允许范围。
2. 化为一个对数：用对数运算法则把差化为商的对数，再把双侧不等式拆成两个代数不等式。
3. 第二问还原函数 $g$：利用周期性与偶性把 $x\in [1,2]$ 上的 $g(x)$ 化到 $[0,1]$ 上的已知表达式。
4. 求反函数：写出 $y=\lg (3-x)$ 的值域即反函数的定义域，再互换 $x,y$。

✅【答案】

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(1) $-\frac{2}{3}<x<\frac{1}{3}$

(2) 反函数为 $y=3-10^x$，其中 $x\in [0,\lg 2]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定定义域 由 $x+1>0$ 且 $1-2x+1>0$，得 $-1<x<1$

第二步：把对数之差化为商的对数 $f(1-2x)-f(x)=\lg (2-2x)-\lg (x+1)=\lg \frac{2-2x}{x+1}$ 题设 $0<\lg \frac{2-2x}{x+1}<1$，由常用对数的底数 $10>1$ 得 $1<\frac{2-2x}{x+1}<10$

第三步：解双侧不等式 由定义域知 $x+1>0$，右边不等式等价于 $2-2x<10(x+1)$，即 $-8<12x$，得 $x>-\frac{2}{3}$； 左边不等式等价于 $2-2x>x+1$，即 $1>3x$，得 $x<\frac{1}{3}$。 综上，$-\frac{2}{3}<x<\frac{1}{3}$。

第四步：还原 $[1,2]$ 上 $g(x)$ 的表达式 当 $x\in [1,2]$ 时，$x-2\in [-1,0]$。由周期性 $g(x)=g(x-2)$；由偶性 $g(x-2)=g(2-x)$；而 $2-x\in [0,1]$，故 $g(x)=g(2-x)=f(2-x)=\lg (3-x),x\in [1,2]$

第五步：求反函数 由 $y=\lg (3-x)$，当 $x$ 从 $1$ 增大到 $2$ 时，$3-x$ 从 $2$ 减小到 $1$，故值域为 $y\in [0,\lg 2]$ 由 $y=\lg (3-x)$ 得 $10^y=3-x$，即 $x=3-10^y$。互换 $x$ 与 $y$，得反函数 $y=3-10^x,x\in [0,\lg 2]$

综上，(1) $-\frac{2}{3}<x<\frac{1}{3}$；(2) 函数 $y=g(x)$（$x\in [1,2]$）的反函数为 $y=3-10^x$，$x\in [0,\lg 2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的定义域与单调性、对数不等式的解法；周期性与奇偶性在函数值迁移中的运用。

核心方法：“先化同底一个对数、再脱去对数符号”；第二问用**“周期平移 + 偶函数翻折”**两步把未知区间化归到已知区间。

避坑指南：- 必须先由定义域保证 $\frac{2-2x}{x+1}>0$，否则不能直接由对数不等式过渡到真数的不等式。 - 把 $0<\lg t<1$ 化为 $1<t<10$ 时，底数 $10>1$，不等号方向不变；若底数在 $(0,1)$ 内则要改变方向。 - 求反函数时务必写出其定义域（即原函数的值域）$[0,\lg 2]$，漏写定义域属于不完整作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数的运算性质、常用对数、函数的周期性与奇偶性、反函数的求法。

结论推广：若 $g$ 以 $T$ 为周期且为偶函数，则 $g(x)=g(T-x)$ 对 $[0,T]$ 上的点成立，可把右半周期化归到左半周期。

方法推广：处理“分段给出部分区间表达式、其余区间由对称性决定”的函数问题，标准动作是先用对称性把自变量移回已知区间，再求值与求反函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 1996-上海文-12 填-反函数的求法

• 2002-上海卷文-12 填-反函数充要条件

• 2016-四川卷文-07 单-对数