2012-北京卷文-13 填-动点向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及坐标法。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $E$ 是 $AB$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{CB}$ 的值为$\underline{}$；$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DC}$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{CB}=1$（定值）；$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DC}=t$，最大值 $1$。

✅【答案】

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$1$；$1$

✍【详细解析】

Abstract

建系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$，$E(t,0)$（$0⩽t⩽1$）。

$\overrightarrow{DE}=(t,-1)$，$\overrightarrow{CB}=(0,-1)$，$\overrightarrow{DC}=(1,0)$。

$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{CB}=0\times t+(-1)\times (-1)=1$，为定值。

$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DC}=t$，最大值为 $1$（当 $E$ 与 $B$ 重合时）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积；动点问题的函数化

核心方法：设参数 $t$ 写坐标 → 数量积展开 → 定值与最值

避坑指南：第 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{CB}$ 一个空的”定值 $1$“来自 $\overrightarrow{CB}$ 只有竖直分量；投影观点：$\overrightarrow{DE}$ 在 $\overrightarrow{DC}$ 方向上的投影随 $E$ 右移而增大，$E=B$ 时最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形中的动点数量积题，与 2013 年北京卷文第 14 题、2012 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

结论推广：一般地，正方形中”对边向量”的数量积为定值（竖直分量固定），“共起对角”方向的数量积随动点线性变化。

方法推广：正方形向量题建系最直接：动点设参数，数量积化为参数的一次（或二次）函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模