2012-北京卷理-07 单-外接球

本题导读

本题考查空间几何体的三视图和直观图，以及空间几何体的表面积与体积。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)）

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

A. $28+6\sqrt{5}$　　　B. $30+6\sqrt{5}$　　　C. $56+12\sqrt{5}$　　　D. $60+12\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 空间几何体复原：

• 俯视图表明底面是一个直角三角形，直角边长分别为 $4$ 和 $2+3=5$。

• 正视图表明有一个侧面垂直于底面，该侧面是一个底边长为 $5$、高为 $4$ 的三角形，且高线将底边分为 $2$ 和 $3$ 两段。

• 侧视图验证了三棱锥的高为 $4$，且顶点在底面上的射影落在底面的直角边上。

2. 计算各面面积：

• 三棱锥共有 4 个面，需要分别求出底面、垂直侧面以及另外两个倾斜侧面的面积。

• 利用勾股定理依次求出未知侧面的底边与高线模长，最后进行面积加和。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：空间几何体结构与线段长解构

由三视图可知，该几何体为一个三棱锥 $P-ABC$。

• 底面 $△ABC$： $\angle ABC=90^{\circ }$ 的直角三角形，直角边 $BC=4$ ，斜边上的投影底边 $AB=2+3=5$。

• 垂直侧面 $△PAB$：面 $PAB\perp$ 面 $ABC$。顶点 $P$ 在 $AB$ 上的射影为 $D$，高 $PD=4$。垂足 $D$ 将 $AB$ 分为 $AD=2,DB=3$。

根据空间垂直关系及勾股定理，计算侧棱与相关线段长：

• 在 $\text{Rt}△PDA$ 中， $PA=\sqrt{P{D}^2+A{D}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；

• 在 $\text{Rt}△PDB$ 中， $PB=\sqrt{P{D}^2+D{B}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；

• 由于面 $PAB\perp$ 面 $ABC$ 且 $BC\perp AB$，根据面面垂直的性质定理，可得 $BC\perp$ 面 $PAB⟹BC\perp PB$。因此 $△PBC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形。

第二步：分步计算 4 个面的面积

1. 底面 $△ABC$ 的面积：

$S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$

2. 后侧面 $△PAB$ 的面积：

$S_{\text{后}}=\frac{1}{2}\times AB\times PD=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$

3. 右侧面 $△PBC$ 的面积：

由于 $\angle PBC=90^{\circ }$，直角边 $PB=5,BC=4$：

$S_{\text{右}}=\frac{1}{2}\times PB\times BC=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$

4. 左侧面 $△PAC$ 的面积：

三边长分别为 $PA=2\sqrt{5},PB=5,BC=4$。在 $\text{Rt}△PBC$ 中，斜边 $PC=\sqrt{P{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。

底边 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。

由于 $PC=AC=\sqrt{41}$， $△PAC$ 是以 $PA$ 为底边的等腰三角形。

过 $C$ 作 $PA$ 的垂线交于 $E$，则 $E$ 为 $PA$ 的中点， $AE=\frac{1}{2}PA=\sqrt{5}$。

高线 $CE=\sqrt{A{C}^2-A{E}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{41}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{41-5}=\sqrt{36}=6$。

$S_{\text{左}}=\frac{1}{2}\times PA\times CE=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 6=6\sqrt{5}$

第三步：计算表面积总和

$\text{表面积 }S=S_{\text{底}}+S_{\text{后}}+S_{\text{右}}+S_{\text{左}}=10+10+10+6\sqrt{5}=30+6\sqrt{5}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体三视图的投影复原；线面垂直性质在隐性直角三角形判定中的应用；等腰三角形面积的勾股解算。

2. 核心方法：多边形分面面积累加法。

3. 避坑指南：

• 易错将 $△PBC$ 和 $△PAC$ 的高线直接看作正视图或侧视图的已知长。必须利用空间垂直关系（如三垂线定理或面面垂直性质）先判定出 $△PBC$ 是直角三角形，进而求出斜边作为 $△PAC$ 的边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：

本题为2012年北京卷高考理科数学第7题，属于立体几何初步章节的传统核心考题，通过三视图形式动态考查考生的空间还原能力与多边形算术基本功。

2. 结论推广：

对于此类一侧面垂直于底面的特殊三棱锥模型，若底面为直角三角形（两直角边为 $a,b$），垂直侧面高为 $h$，射影将斜边分为 $c_1,c_2$ 两段。其空间各侧面的直角边和斜边结构具有高度的代数守恒性，可以通过建立统一的勾股代数方程组，将四面面积固化为由元素 $a,b,h,c_1,c_2$ 级联表示的解析通式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-10 单-线面平行与面面平行的

• 2007-福建卷理-10 单-空间向量立体几何

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角