2012-北京卷理-18 解-单调性

本题导读

本题考查共切线问题。核心在于几何法、导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+1(a>0)$， $g(x)=x^3+bx$．

(1)若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点 $(1,c)$ 处具有公共切线，求 $a,b$ 的值；

(2)当 $a^2=4b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty ,-1]$ 上的最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第（1）问（共切线逻辑）：

• 两曲线在点 $(1,c)$ 处具有公共切线，意味着该点既是两函数的几何交点，又是切点。
• 满足两个核心等量关系：① 函数值相等，即 $f(1)=g(1)=c$；② 导数值（切线斜率）相等，即 $f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)$。
• 联立方程组直接求解参数 $a,b$。

2. 分析第（2）问（单调性与参数动态最值）：

• 将 $b=\frac{1}{4}{a}^2$ 代入复合函数中，构建新函数 $h(x)=g(x)+f(x)=x^3+a{x}^2+\frac{1}{4}{a}^{2}x+1$。
• 求出导函数 $h^{\prime }(x)=3x^2+2ax+\frac{1}{4}{a}^2$，解一元二次方程求出两个导数零点 $x_1=-\frac{a}{2},x_2=-\frac{a}{6}$。
• 结合 $a>0$ 判定两根大小并列出单调性表。
• 在区间 $(-\infty ,-1]$ 上求最大值时，两个导数零点的位置会随着参数 $a$ 的变化而横向移动。需要将区间边界 $-1$ 与极大值点 $-\frac{a}{2}$、极小值点 $-\frac{a}{6}$ 的相对位置进行分类讨论。

✅【答案】

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(1) $a=3$，$b=3$

(2) 递增区间 $(-\infty ,-\frac{a}{2})$ 和 $(-\frac{a}{6},+\infty )$，递减区间 $(-\frac{a}{2},-\frac{a}{6})$；最大值当 $0<a\le 2$ 时为 $a-\frac{1}{4}{a}^2$，当 $a>2$ 时为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $a,b$ 的值

对两函数分别求导： $f^{\prime }(x)=2ax,g^{\prime }(x)=3x^2+b$

由于曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在交点 $(1,c)$ 处具有公共切线， 由切点重合可知： $f(1)=g(1)=c⟹a\times 1^2+1=1^3+b\times 1⟹a+1=1+b⟹a=b\dots \dots \text{(1)}$

由切线斜率相等可知： $f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)⟹2a\times 1=3\times 1^2+b⟹2a=3+b\dots \dots \text{(2)}$

将 ① 式 $b=a$ 代入 ② 式中： $2a=3+a⟹a=3$ 代回 ① 式得： $b=3$

所以，$a=3,b=3$。

（2）求 $f(x)+g(x)$ 的单调区间及最大值

当 $a^2=4b$ 时，由于 $a>0$，可解得 $b=\frac{1}{4}{a}^2$。 设新复合函数为 $h(x)$： $h(x)=f(x)+g(x)=x^3+a{x}^2+\frac{1}{4}{a}^{2}x+1$

对 $h(x)$ 求导： $h^{\prime }(x)=3x^2+2ax+\frac{1}{4}{a}^2$

令 $h^{\prime }(x)=0$，解此一元二次方程。由求根公式： $x=\frac{-2a\pm \sqrt{(2a{)}^2-4\times 3\times \frac{1}{4}{a}^2}}{2\times 3}=\frac{-2a\pm \sqrt{4a^2-3a^2}}{6}=\frac{-2a\pm a}{6}$ 解得两个导数零点： $x_1=-\frac{a}{2},x_2=-\frac{a}{6}$

因为已知 $a>0$，所以满足大小约束： $-\frac{a}{2}<-\frac{a}{6}$。

当 $x$ 变化时， $h^{\prime }(x)$ 与 $h(x)$ 的状态分布如下表所示：

$x$	$\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right)$	$-\frac{a}{2}$	$\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{6}\right)$	$-\frac{a}{6}$	$\left(-\frac{a}{6},+\infty \right)$
$h^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$	↗ （单调递增）	极大值	↘ （单调递减）	极小值	↗ （单调递增）

根据表格，函数 $h(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right)$ 和 $\left(-\frac{a}{6},+\infty \right)$；单调递减区间为 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{6}\right)$。

接下来求解函数 $h(x)$ 在目标半闭区间 $(-\infty ,-1]$ 上的最大值。 随着参数 $a$ 的变化，极大值点 $-\frac{a}{2}$ 与区间右边界 $-1$ 的相对位置分以下三种情况讨论：

情况一：当 $-1⩽-\frac{a}{2}$ 时 解得参数范围为 $0<a⩽2$。 此时，整个考查区间 $(-\infty ,-1]$ 完全落在单调递增区间 $\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right]$ 的内部。 因此，函数 $h(x)$ 在 $(-\infty ,-1]$ 上处于严格单调递增状态，其最大值必然在区间的右端点 $-1$ 处取得。 $\text{最大值 }M=h(-1)=(-1{)}^3+a(-1{)}^2+\frac{1}{4}{a}^2(-1)+1=-1+a-\frac{1}{4}{a}^2+1=a-\frac{1}{4}{a}^2$ (注：原图解析在此处声称“递增，无最大值”，属于严重概念错误。在左侧闭区间/半闭区间上，若函数单调递增，右端点即为最大值点。)

情况二：当 $-\frac{a}{2}<-1<-\frac{a}{6}$ 时 解得参数范围为 $2<a<6$． 此时，极大值点 $-\frac{a}{2}$ 恰好落在了考查区间 $(-\infty ,-1]$ 的内部。 函数在 $\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right]$ 上递增，在 $\left[-\frac{a}{2},-1\right]$ 上递减。 因此，最大值在极大值点 $x=-\frac{a}{2}$ 处取得： $M=h\left(-\frac{a}{2}\right)={\left(-\frac{a}{2}\right)}^3+a{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}{a}^2\left(-\frac{a}{2}\right)+1=-\frac{a^3}{8}+\frac{a^3}{4}-\frac{a^3}{8}+1=1$

情况三：当 $-\frac{a}{6}⩽-1$ 时 解得参数范围为 $a⩾6$。 此时，极大值点 $-\frac{a}{2}$ 和极小值点 $-\frac{a}{6}$ 均落在了区间 $(-\infty ,-1]$ 的内部。 根据单调性演变，函数在 $\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right]$ 上递增，在 $\left[-\frac{a}{2},-\frac{a}{6}\right]$ 上递减，在 $\left[-\frac{a}{6},-1\right]$ 上重新递增。 全局最大值只能在左侧波峰（极大值点 $-\frac{a}{2}$）或右边界点 $-1$ 处产生。 计算临界差值： $h\left(-\frac{a}{2}\right)-h(-1)=1-\left(a-\frac{1}{4}{a}^2\right)=\frac{1}{4}{a}^2-a+1={\left(\frac{1}{2}a-1\right)}^2$ 由于 $a⩾6>2$，显然 ${\left(\frac{1}{2}a-1\right)}^2>0⟹h\left(-\frac{a}{2}\right)>h(-1)$。 因此，全局最大值依然在极大值点处截获： $M=h\left(-\frac{a}{2}\right)=1$

讨论结果归纳合并

• 当 $0<a⩽2$ 时，最大值为 $a-\frac{1}{4}{a}^2$；
• 当 $a>2$ 时（合并情况二与情况三），最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多曲线共切点不变量控制流；三次函数含参导数的根式解算；动态驻点在固定截断区间上的存在性偏置讨论。
2. 核心方法：单调性表格分析法；边界点极大值点双向差值比较法。
3. 避坑指南：

• 原图解析严重翻车提示：原图纸质解析在情况一（$0<a⩽2$）中判定“递增，无最大值”，错将半闭区间 $(-\infty ,-1]$ 当成了无界开区间。请注意，在含右端点的半开闭区间上，单调递增函数必然在右边界取得全局最大值！
• 求解第（2）问导数零点时，由于含有参数 $a$，合并同类项时务必确保 $\Delta =a^2$ 的开方正确性，切勿漏掉分母的系数 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第18题，属于导数章节的综合大题。第一问重点筛查切线几何基础，第二问则通过参数与动态边界的博弈，全面压榨考生的分类讨论逻辑及代数极限运算基本功。
2. 结论推广： 本题第（2）问本质上属于经典三次多项式 $y=x^3+a{x}^2+\frac{1}{4}{a}^{2}x+1$ 的**“参数平移包络线定理”。 通过对该函数求高等导数及空间拐点分析，其极大值不变量恒满足 $h\left(-\frac{a}{2}\right)=1$，这说明无论参数 $a$ 如何改变，该三次函数波峰的纵坐标在几何拓扑上被刚性锁死在直线 $y=1$ 上**。利用这一高度简化的空间拓扑守恒性，可以在分类讨论中直接简化的代数代入，心算复核各区间的极大值响应。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

• 2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值