2012-四川卷理-01 单-二项式展开

本题导读

本题考查二项式定理展开式的通项公式，以及特定项系数的求解方法。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

$(1+x{)}^7$ 的展开式中 $x^2$ 的系数是()

A. $42$

B. $35$

C. $28$

D. $21$

🔍【思路分析】

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1. 识别题型：求 $(1+x{)}^7$ 展开式中 $x^2$ 的系数，用二项式通项公式。

2. 写出通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r{x}^r$，令 $r=2$ 即得 $x^2$ 项。

3. 系数为 ${\mathrm{C}}_7^2$，直接计算得 $21$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+x{)}^7$ 的通项为

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r\cdot 1^{7-r}\cdot x^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^r$

要求 $x^2$ 项，令 $r=2$，得系数

${\mathrm{C}}_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$

核心方法：特定项（第 $r$ 项）系数的定位

避坑指南：组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 的计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理的展开与通项应用

结论推广：可推广到求 $x^k$ 项、常数项、含参数的特定项

方法推广：通项公式法通用于一切二项展开求系数问题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-04 填-二项式通项公式

• 2005-全国卷I理-14 填-二项式定理

• 2005-全国卷III理-03 单-二项式定理