2012-四川卷理-03 单-函数极限

本题导读

本题考查分段函数在分段点处极限的求法，以及左右极限的比较。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-9}{x-3},& x<3,\\ \ln (x-2),& x⩾3,\end{array}$ 在 $x=3$ 处的极限是()

A. 不存在

B. 等于 $6$

C. 等于 $3$

D. 等于 $0$

🔍【思路分析】

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1. 分别求 $x\to 3^{-}$ 和 $x\to 3^{+}$ 的单侧极限。

2. 左极限：${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{x^2-9}{x-3}$，右极限：${\lim }_{x\to 3^{+}}\ln (x-2)$。

3. 比较左右极限是否相等，判断极限是否存在。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

左极限：$x<3$ 时 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$，故

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}(x+3)=6$

右极限：$x>3$ 时 $f(x)=\ln (x-2)$，故

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=\ln (3-2)=\ln 1=0$

由于左极限 $6\ne$ 右极限 $0$，所以 $x\to 3$ 时的极限不存在。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数在分段点处极限的存在性判定

核心方法：左右极限法

避坑指南：重要极限与等价化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于函数极限的定义（左、右极限相等）

结论推广：可推广到含绝对值、取整等分段函数

方法推广：极限存在需左右极限同时存在且相等

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-08 单-函数的极限运算

• 2006-北京卷理-09 填-因式分解与约分

• 2006-四川卷理-03 单-函数连续性的判定