2012-四川卷理-05 单-函数图象

本题导读

本题考查指数函数图象的识别，以及参数对图象位置的影响。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

函数 $y=a^x-\frac{1}{a}$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象可能是()

A.

B.

C.

D.（选项为图象）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定函数 $y=a^x-\frac{1}{a}$ 的单调性与截距。

2. 当 $a>1$ 时单调递增，截距 $1-\frac{1}{a}>0$；当 $0<a<1$ 时单调递减，截距 $1-\frac{1}{a}<0$。

3. 结合选项图象判断符合的一组。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=a^x-\frac{1}{a}$ 中，$a>0,a\ne 1$。

当 $a>1$：$a^x$ 递增，截距 $f(0)=1-\frac{1}{a}>0$，且当 $x\to -\infty$ 时 $y\to -\frac{1}{a}$（有水平渐近线 $y=-\frac{1}{a}$）。

当 $0<a<1$：$a^x$ 递减，截距 $f(0)=1-\frac{1}{a}<0$。

观察选项，符合递增且截距为正（或递减截距为负）的图象为 D。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的图象与性质

核心方法：图象变换（平移、伸缩）

避坑指南：参数对图象的定性影响

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于指数函数图象

结论推广：可推广到 $y=a^x+b$、$y=k{a}^x$ 等

方法推广：图象判断关键看单调性与截距/渐近线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-10 单-指数函数的图象与性质

• 2005-福建卷理-05 单-指数函数的图象与性质

• 2006-上海卷理-03 填-反函数的几何特征与坐标映射