2012-四川卷理-10 单-球面距离

本题导读

本题考查球面距离的计算，以及空间角关系的建立。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$，过圆 $O$ 的直径 $CD$ 作与平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ }$ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$ 的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle BOP=60^{\circ }$，则 $A,P$ 两点间的球面距离为()

A. $R\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{\pi R}{4}$

C. $R\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{\pi R}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 确定 $A,P$ 在球面上的位置，求球心角 $\angle AOP$。

2. 由 $\angle BOP=60^{\circ }$ 及平面与底面成 $45^{\circ }$ 角，建立 $A,O,P$ 的坐标关系。

3. 用球面距离公式 $d=R\cdot \theta$（$\theta$ 为球心角）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

取 $O$ 为原点，$OA$ 沿 $z$ 轴，$A(0,0,R)$。

设交线所在平面与底面成 $45^{\circ }$，$B$ 为到平面 $\alpha$ 距离最大的点，即 $B$ 在 $OA$ 方向上最高处。

$P$ 满足 $\angle BOP=60^{\circ }$，经坐标计算得 $\cos \angle AOP=\frac{\sqrt{2}}{4}$（$A,P$ 的球心角）。

球面距离 $=R\cdot \angle AOP=R\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离公式 $d=R\theta$

核心方法：空间向量与夹角

避坑指南：球面几何

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于球面几何与球面距离

结论推广：可推广到球面上两点的最短路程

方法推广：球面距离=半径×球心角（弧度）

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2005-山东卷理-08 单-球面距离与弧长公式

• 2006-北京卷理-14 填-直角三角形外接圆的几何特征

• 2006-四川卷理-10 单-三维空间直角三角形求角