2012-四川卷理-16 填-数列与取整

本题导读

本题考查取整函数与数列递推的综合，以及命题真假的判断。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，例如 $[2]=2$，$[1.5]=1$，$[-0.3]=-1$.设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\frac{x_n+[\frac{a}{x_n}]}{2}\right]$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），现有下列命题：

① 当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；

② 对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n⩾k$ 时总有 $x_n=x_k$；

③ 当 $n⩾1$ 时，$x_n>\sqrt{a}-1$；

④ 对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}⩾x_k$，则 $x_n=[\sqrt{a}]$.

其中的真命题有 $\underline{}$.（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐条分析四个命题。

2. ① 代入 $a=5$ 计算前三项验证。

3. ②③④ 结合取整函数性质与递推关系论证。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

① $a=5$：$x_1=5$，$x_2=[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]=[\frac{5+1}{2}]=3$，$x_3=[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]=[\frac{3+1}{2}]=2$。前 3 项 $5,3,2$，①真。

② 数列最终稳定（取整收敛到 $[\sqrt{a}]$ 附近），②真。

③ 由递推与取整定义可证 $x_n>\sqrt{a}-1$，③真。

④ 若 $x_{k+1}⩾x_k$，则 $x_n=[\sqrt{a}]$，④真。

故真命题为 ①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数 $[x]$ 的性质

核心方法：数列递推与极限

避坑指南：命题真假判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于取整函数与数列综合

结论推广：可推广到迭代算法与不动点

方法推广：逐条验证命题，取整函数注意 $[x]⩽x<[x]+1$

🔗【关联脉络】

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