2012-四川卷理-18 解-三角函数图象

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型函数的性质，以及图象信息的读取。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

函数 $f(x)=6{\cos }^2\frac{\omega x}{2}+\sqrt{3}\sin \omega x-3$（$\omega >0$）在一个周期内的图象如图所示，$A$ 为图象的最高点，$B,C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ABC$ 为正三角形.

(1) 求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 的值域；

(2) 若 $f(x_0)=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且 $x_0\in \left(-\frac{10}{3},\frac{2}{3}\right)$，求 $f(x_0+1)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 化简 $f(x)$ 为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 形式。

2. 由正三角形条件求 $\omega$，确定值域。

3. 由 $f(x_0)$ 求 $f(x_0+1)$。

✅【答案】

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(1) $\omega =\frac{\pi }{4}$，值域为 $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$

(2) $f(x_0+1)=\frac{7\sqrt{6}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=6{\cos }^2\frac{\omega x}{2}+\sqrt{3}\sin \omega x-3=3(1+\cos \omega x)+\sqrt{3}\sin \omega x-3=3\cos \omega x+\sqrt{3}\sin \omega x=2\sqrt{3}\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})$。

由 $△ABC$ 为正三角形，最高点 $A$ 到 $BC$ 距离等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times |BC|$，结合周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，得 $\omega =\frac{\pi }{4}$。

值域 $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$。

(2) $f(x_0)=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，代入解得 $\sin (\frac{\pi }{4}{x}_0+\frac{\pi }{3})=\frac{4}{5}$，进而 $f(x_0+1)=\frac{7\sqrt{6}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换（辅助角公式）

核心方法：正弦型函数的图象与性质

避坑指南：三角求值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换与图象

结论推广：可推广到 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的各类问题

方法推广：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-11 单-三角形内角和定理与诱导公式

• 2005-全国卷II理-07 单-三角两角和与差的余弦公式

• 2005-全国卷III理-07 单-二倍角正弦公式与