2012-四川卷理-20 解-数列前n项和

本题导读

本题考查数列通项与前 $n$ 项和的关系，以及数列最值的作差比较。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_2{a}_n=S_2+S_n$ 对一切正整数 $n$ 都成立.

(1) 求 $a_1,a_2$ 的值；

(2) 设 $a_1>0$，数列 $\left\{\lg \frac{10a_1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，当 $n$ 为何值时，$T_n$ 最大？并求出 $T_n$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_2{a}_n=S_2+S_n$ 对一切 $n$ 成立，令 $n=1,2$ 求 $a_1,a_2$。
2. 确定 $a_n$ 通项，求 $\lg \frac{10a_1}{a_n}$ 的符号变化。
3. 作差比较 $T_n$ 的增减，求最大值。

✅【答案】

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(1) $(a_1,a_2)=(0,0)$，或 $(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+2)$，或 $(1-\sqrt{2},2-\sqrt{2})$

(2) 当 $n=7$ 时 $T_n$ 最大，最大值为 $T_7=\frac{21}{2}\lg 2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $n=1$：$a_2{a}_1=S_2+S_1=(a_1+a_2)+a_1=2a_1+a_2$。$n=2$：$a_2{a}_2=S_2+S_2=2(a_1+a_2)$。 联立解得 $(a_1,a_2)=(0,0)$ 或 $(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+2)$ 或 $(1-\sqrt{2},2-\sqrt{2})$。 (2) $a_1>0$ 取 $a_1=\sqrt{2}+1,a_2=\sqrt{2}+2$，得 $a_n$ 通项，$\lg \frac{10a_1}{a_n}$ 前正后负。 作差得 $T_n$ 在 $n=7$ 处最大，$T_7=\frac{21}{2}\lg 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$a_n$ 与 $S_n$ 的关系

核心方法：数列最值

避坑指南：作差比较法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列递推与最值

结论推广：可推广到求 $\lg$ 型数列前 $n$ 项和最值

方法推广：作差 $T_{n+1}-T_n$ 判断增减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值 类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-06 单-等差数列奇偶项和

• 2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限

• 2006-湖北卷理-17 解-数列不等式恒成立问题