2012-四川卷理-21 解-轨迹方程

本题导读

本题考查轨迹方程的求解，以及直线与圆锥曲线（双曲线）的交点问题。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

如图，动点 $M$ 与两定点 $A(-1,0),B(2,0)$ 构成 $△MAB$，且 $\angle MBA=2\angle MAB$，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$.

(1) 求轨迹 $C$ 的方程；

(2) 设直线 $y=-2x+m$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q,R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $\frac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\angle MBA=2\angle MAB$ 建立点 $M$ 坐标关系，求轨迹方程。

2. 直线与轨迹联立，用韦达定理。

3. 由 $|PQ|<|PR|$ 求 $\frac{|PR|}{|PQ|}$ 范围。

✅【答案】

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(1) $3x^2-y^2-3=0$（$x>1$）

(2) $(1,7)\cup (7,7+4\sqrt{3})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $M(x,y)$，由 $\angle MBA=2\angle MAB$ 及正切二倍角公式，结合斜率关系，化简得轨迹

$3x^2-y^2-3=0(x>1)$

(2) 直线 $y=-2x+m$ 与轨迹联立，判别式 $>0$，由 $|PQ|<|PR|$ 及韦达定理，

得 $\frac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围 $(1,7)\cup (7,7+4\sqrt{3})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程的求法

核心方法：直线与双曲线的位置关系

避坑指南：韦达定理与长度比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆锥曲线轨迹问题

结论推广：可推广到角平分线、倍角等条件轨迹

方法推广：倍角条件常用正切二倍角转化为斜率关系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-22 解-平面向量的坐标运算

• 2005-广东卷-17 解-抛物线的几何性质

• 2005-江苏卷-19 解-平面直角坐标系的建立