2012-四川卷理-22 解-数列综合

本题导读

本题考查数列与函数（抛物线切线）的综合，以及数列求和与不等式比较。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$，设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1) 用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$；

(2) 求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n)-1}{f(n)+1}⩾\frac{n^3}{n^3+1}$ 成立的 $a$ 的最小值；

(3) 当 $0<a<1$ 时，比较 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{f(k)-f(2k)}$ 与 $\frac{27}{4}\cdot \frac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$ 的大小，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求抛物线在点 $A$ 处切线在 $y$ 轴截距，得 $f(n)$。

2. 由不等式恒成立求 $a$ 的最小值。

3. 比较两个求和式的大小，构造函数证明。

✅【答案】

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(1) $f(n)=a^n$

(2) $a$ 的最小值为 $\sqrt{17}$

(3) 前者大于后者

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交点 $A(\frac{a^{n/2}}{\sqrt{2}},0)$，切线斜率 $k=-2x_A$，切线在 $y$ 轴截距 $f(n)=a^n$。

(2) $\frac{f(n)-1}{f(n)+1}=\frac{a^n-1}{a^n+1}⩾\frac{n^3}{n^3+1}$ 对一切 $n$ 成立，解得 $a$ 的最小值 $\sqrt{17}$。

(3) 当 $0<a<1$ 时，构造函数比较，${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{f(k)-f(2k)}>\frac{27}{4}\cdot \frac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线切线方程

核心方法：数列与函数综合

避坑指南：不等式比较（构造函数法）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列与导数综合

结论推广：可推广到切线截距、数列不等式

方法推广：构造函数利用单调性比较大小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷理-14 填-数列与算法设计

• 2005-北京卷理-19 解-分段递推数列

• 2005-广东卷-18 解-离散型随机变量的分布列